1. Cho hàm số y = x*eˣ. Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
A. y′' = eˣ
B. y′' = 2eˣ + xeˣ
C. y′' = xeˣ
D. y′' = eˣ + xeˣ
2. Điều kiện hội tụ của chuỗi hình học ∑ (qⁿ) (với n từ 0 đến ∞) là:
A. |q| > 1
B. |q| ≥ 1
C. |q| < 1
D. q < 1
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x và y = x².
A. 1∕6
B. 1∕3
C. 1∕2
D. 1
4. Hàm số nào sau đây liên tục trên R?
A. y = 1∕x
B. y = tan(x)
C. y = x² + 1
D. y = cot(x)
5. Trong các chuỗi số sau, chuỗi nào phân kỳ?
A. ∑ (1∕2ⁿ)
B. ∑ (1∕n!)
C. ∑ (1∕nᵖ) với p > 1
D. ∑ (n∕ (n+1))
6. Cho hàm số f(x) = {x² nếu x ≤ 1; 2x - 1 nếu x > 1}. Hàm số này:
A. Liên tục và khả vi tại x = 1
B. Liên tục nhưng không khả vi tại x = 1
C. Khả vi nhưng không liên tục tại x = 1
D. Không liên tục và không khả vi tại x = 1
7. Trong các mệnh đề sau về giới hạn, mệnh đề nào SAI?
A. Nếu lim (f(x)) = L và lim (g(x)) = M thì lim (f(x) + g(x)) = L + M
B. Nếu lim (f(x)) = L và lim (g(x)) = M thì lim (f(x) × g(x)) = L × M
C. Nếu lim (f(x)) = L và lim (g(x)) = M ≠ 0 thì lim (f(x) ∕ g(x)) = L ∕ M
D. Nếu lim (f(x)) = L thì lim (1∕f(x)) = 1∕L luôn đúng
8. Công thức nào sau đây là đúng cho quy tắc L′Hôpital khi tính giới hạn?
A. lim (f(x)∕g(x)) = lim (f′(x)∕g′(x)) nếu lim (f(x)) = 0 và lim (g(x)) = 0
B. lim (f(x)∕g(x)) = lim (f′(x)∕g′(x)) luôn đúng
C. lim (f(x)∕g(x)) = lim (f(x)g(x)) nếu lim (f(x)) = 0 và lim (g(x)) = ∞
D. lim (f(x)∕g(x)) = lim (g′(x)∕f′(x)) nếu lim (f(x)) = ∞ và lim (g(x)) = ∞
9. Công thức tính độ dài cung của đường cong y = f(x) từ x = a đến x = b là:
A. L = ∫(từ a đến b) √(1 + [f′(x)]) dx
B. L = ∫(từ a đến b) √(1 + [f′(x)]²) dx
C. L = ∫(từ a đến b) [f′(x)]² dx
D. L = ∫(từ a đến b) |f′(x)| dx
10. Chuỗi số nào sau đây hội tụ?
A. ∑ (1∕n) (với n từ 1 đến ∞)
B. ∑ (n) (với n từ 1 đến ∞)
C. ∑ (1∕n²) (với n từ 1 đến ∞)
D. ∑ ((-1)ⁿ) (với n từ 1 đến ∞)
11. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = (2x + 1) ∕ (x - 1) là:
A. y = 1
B. y = 2
C. x = 1
D. x = -1∕2
12. Cho hàm số f(x) = x³ - 6x² + 9x. Khoảng nào sau đây hàm số nghịch biến?
A. (-∞, 1)
B. (1, 3)
C. (3, +∞)
D. (-∞, +∞)
13. Cho hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Điểm cực đại của hàm số là:
A. x = 0
B. x = 1
C. x = 2
D. x = -1
14. Cho hàm số f(x) = |x|. Đạo hàm của f(x) tại x = 0:
A. bằng 1
B. bằng -1
C. bằng 0
D. không tồn tại
15. Cho hàm số f(x) = cos(x). Khai triển Taylor của f(x) tại x = 0 đến bậc 2 là:
A. 1 + x + x²∕2
B. 1 - x²∕2
C. x - x³∕3!
D. 1 + x²∕2!
16. Nếu ∫f(x) dx = F(x) + C thì ∫f(ax + b) dx bằng:
A. F(ax + b) + C
B. aF(ax + b) + C
C. (1∕a)F(ax + b) + C
D. F(x)∕a + C
17. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x là:
A. x + C
B. x² + C
C. 2x² + C
D. 2 + C
18. Điều kiện để hàm số f(x) khả vi tại x0 là:
A. f(x) liên tục tại x0
B. f(x) có giới hạn tại x0
C. f(x) gián đoạn tại x0
D. f(x) xác định tại x0
19. Giá trị giới hạn lim (x→0) (sin(x) ∕ x) là:
A. 0
B. 1
C. vô cùng
D. không tồn tại
20. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b quanh trục Ox được tính bằng công thức:
A. V = π∫(từ a đến b) f(x) dx
B. V = ∫(từ a đến b) [f(x)]² dx
C. V = π∫(từ a đến b) [f(x)]² dx
D. V = 2π∫(từ a đến b) xf(x) dx
21. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại điểm có hoành độ x = 1 là:
A. y = 2x - 1
B. y = x + 1
C. y = x
D. y = 2x
22. Tìm vi phân cấp một của hàm số y = e³ˣ.
A. dy = e³ˣ dx
B. dy = 3e³ˣ dx
C. dy = (1∕3)e³ˣ dx
D. dy = 3eˣ dx
23. Ứng dụng của tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
A. ∫(từ a đến b) f(x) dx
B. |∫(từ a đến b) f(x) dx|
C. ∫(từ a đến b) |f(x)| dx
D. ∫(từ a đến b) f′(x) dx
24. Trong các hàm số sau, hàm số nào là nguyên hàm của f(x) = 3x²?
A. F(x) = 6x
B. F(x) = x³
C. F(x) = x³ + 1
D. Cả 2 và 3
25. Giá trị của tích phân xác định ∫(từ 0 đến 1) x dx là:
26. Tính đạo hàm của hàm số y = ln(x² + 1).
A. y′ = 1∕(x² + 1)
B. y′ = 2x∕(x² + 1)
C. y′ = ln(2x)
D. y′ = 2x × ln(x² + 1)
27. Cho hàm số f(x, y) = x² + y². Đạo hàm riêng theo x của f(x, y) là:
A. 2y
B. 2x
C. 2x + 2y
D. 0
28. Đạo hàm của hàm số y = sin(2x) là:
A. y′ = cos(2x)
B. y′ = 2cos(2x)
C. y′ = -2cos(2x)
D. y′ = -cos(2x)
29. Cho hàm số z = f(x, y) = xy. Gradient của hàm số tại điểm (1, 2) là:
A. (1, 2)
B. (2, 1)
C. (2, 2)
D. (0, 0)
30. Giới hạn của dãy số (1 + 1∕n)ⁿ khi n tiến tới vô cùng là:
A. 0
B. 1
C. e
D. vô cùng
