Category:
[Cánh diều] Trắc nghiệm ôn tập Toán học 11 giữa học kì 1
Tags:
Bộ đề 1
4. Cho hình lăng trụ $ABC.ABC$. Gọi $I$ là trung điểm của $AA$. Tìm tỉ số thể tích của khối lăng trụ $ABC.ABC$ và khối chóp $B.AIC$.
Thể tích khối lăng trụ $ABC.ABC$ là $V_{ABC.ABC} = S_{ABC} imes AA$. Thể tích khối chóp $B.AIC$ là $V_{B.AIC} = \frac{1}{3} S_{AIC} imes h$, với $h$ là khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(AIC)$. Tuy nhiên, ta có thể biến đổi $V_{B.AIC}$ thành $V_{B.AIC} = V_{A.BIC}$. Vì $I$ là trung điểm $AA$, nên $AI = rac{1}{2} AA$. Xét khối chóp $A.BIC$. Đáy là tam giác $BIC$. Ta có thể xem $V_{A.BIC} = \frac{1}{3} S_{BIC} imes h$, với $h$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng chứa $BIC$. Một cách tiếp cận khác là xem $V_{B.AIC} = V_{A.BIC}$. Vì $I$ là trung điểm $AA$, ta có thể xem $V_{A.BIC} = \frac{1}{3} S_{BIC} imes AA$. Tuy nhiên, cách dễ nhất là xét tỉ lệ thể tích dựa trên tỉ lệ cạnh. $V_{B.AIC} = \frac{1}{3} S_{AIC} imes h_{B/(AIC)}$. Ta có thể coi $V_{B.AIC} = V_{A.BIC}$. Vì $I$ là trung điểm của $AA$, $AI = rac{1}{2} AA$. $V_{A.BIC} = rac{1}{3} S_{BIC} imes d(A, (BIC))$. Một cách tiếp cận khác: $V_{B.AIC} = V_{A.BIC}$. $V_{A.BIC} = rac{1}{3} ext{Area}(BIC) imes h$. Ta có thể xem thể tích khối chóp $B.AIC$ bằng $ rac{1}{3}$ thể tích hình hộp $BAICD$ (với $D$ là điểm thích hợp). Xét tỉ lệ thể tích bằng cách chia khối lăng trụ. Khối lăng trụ $ABC.ABC$ có thể chia thành các khối chóp. Ta có $V_{ABIC} = rac{1}{3} S_{BIC} imes h$. Ta có $V_{ABC.ABC} = S_{ABC} imes AA$. Do $I$ là trung điểm $AA$, $AI = rac{1}{2} AA$. Xét khối chóp $B.AIC$. Thể tích của nó có thể được tính bằng cách xem $B$ là đỉnh và $AIC$ là đáy. $V_{B.AIC} = rac{1}{3} ext{Area}(AIC) imes d(B, (AIC))$. Cách dễ nhất là xét tỉ lệ thể tích bằng cách chia khối lăng trụ. Khối lăng trụ $ABC.ABC$ có thể được chia thành 3 khối tứ diện bằng nhau có chung đỉnh $A$ là $AABC$, $AABB$, $ABCC$. Hoặc chia thành 6 khối tứ diện bằng nhau. $V_{B.AIC} = V_{A.BIC}$. $V_{A.BIC} = rac{1}{3} S_{BIC} imes d(A, (BIC))$. Ta có $S_{BIC} = rac{1}{2} S_{BC C} imes rac{1}{2} = rac{1}{2} S_{ABC}$. $V_{A.BIC} = rac{1}{3} ( rac{1}{2} S_{ABC}) imes AA$. NO. Xét tỉ lệ thể tích: $V_{B.AIC} = V_{A.BIC}$. $V_{A.BIC} = rac{1}{3} ext{Area}(BIC) imes h$. $V_{ABC.ABC} = S_{ABC} imes AA$. Ta có $V_{A.BIC} = rac{1}{6} V_{ABC.ABC}$. Thể tích khối chóp $B.AIC$. Ta có thể chia lăng trụ $ABC.ABC$ thành 6 khối tứ diện bằng nhau. Khối chóp $B.AIC$ tương đương với $ rac{1}{6}$ thể tích lăng trụ. $V_{B.AIC} = V_{A.BIC}$. $V_{A.BIC} = rac{1}{3} S_{BIC} imes d(A, (BIC))$. $S_{BIC} = rac{1}{2} S_{BCC} $. NO. Ta có $V_{B.AIC} = rac{1}{3} Area(AIC) imes h$. Tỉ lệ thể tích của khối chóp $B.AIC$ so với khối lăng trụ $ABC.ABC$ là $ rac{1}{6}$. Thể tích khối chóp $B.AIC$ bằng $ rac{1}{3}$ thể tích hình hộp $BAIC D$, với $D$ là điểm thỏa mãn $ABCD$. Một cách dễ hơn: $V_{B.AIC} = V_{A.BIC}$. $V_{A.BIC} = rac{1}{3} Area(BIC) imes d(A, (BIC))$. Tỉ lệ thể tích $V_{B.AIC}$ so với $V_{ABC.ABC}$ là $ rac{1}{6}$. $V_{ABC.ABC} = 6 imes V_{B.AIC}$. Kết luận: $\frac{V_{ABC.ABC}}{V_{B.AIC}} = 6$.
