1. Phép biến đổi tuyến tính T: V → W được gọi là toàn ánh (surjective) khi:
A. Với mọi w ∈ W, tồn tại ít nhất một v ∈ V sao cho T(v) = w.
B. Với mọi w ∈ W, tồn tại nhiều nhất một v ∈ V sao cho T(v) = w.
C. Với mọi w ∈ W, tồn tại duy nhất một v ∈ V sao cho T(v) = w.
D. Tồn tại w ∈ W sao cho không có v ∈ V nào thỏa mãn T(v) = w.
2. Không gian con của không gian vector V là gì?
A. Một tập con bất kỳ của V.
B. Một tập con của V đóng với phép cộng vector và phép nhân với số vô hướng.
C. Một tập con của V chứa vector không.
D. Chính là không gian vector V.
3. Cho ma trận A kích thước m x n. Không gian cột của A là không gian con của:
A. Rⁿ
B. Rᵐ
C. Không gian các ma trận m x n.
D. Không gian các ma trận n x m.
4. Trong không gian vector R³, tích vô hướng của hai vector u = (1, 2, 3) và v = (-1, 1, 0) là:
5. Phép biến đổi tuyến tính T: V → W được gọi là đơn ánh (injective) khi:
A. Với mọi w ∈ W, tồn tại ít nhất một v ∈ V sao cho T(v) = w.
B. Với mọi w ∈ W, tồn tại nhiều nhất một v ∈ V sao cho T(v) = w.
C. Với mọi w ∈ W, tồn tại duy nhất một v ∈ V sao cho T(v) = w.
D. Tồn tại w ∈ W sao cho không có v ∈ V nào thỏa mãn T(v) = w.
6. Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Ma trận chuyển vị của A (ký hiệu AT) là:
A. [[1, 3], [2, 4]]
B. [[4, 3], [2, 1]]
C. [[1, 2], [3, 4]]
D. [[-1, -2], [-3, -4]]
7. Nếu hai vector u và v trực giao nhau, tích vô hướng của chúng bằng:
A. 1
B. -1
C. 0
D. ||u|| * ||v||
8. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ phương trình tuyến tính Ax = b có nghiệm duy nhất?
A. Ma trận A là ma trận vuông và det(A) = 0.
B. Ma trận A là ma trận vuông và det(A) ≠ 0.
C. Ma trận A là ma trận chữ nhật.
D. Vector b là vector không.
9. Ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi:
A. Định thức của nó khác 0.
B. Tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều khác 0.
C. Nó có ít nhất một hàng hoặc cột khác không.
D. Tất cả các giá trị riêng của nó đều dương.
10. Cho ma trận A vuông. Định thức của A bằng 0 khi và chỉ khi:
A. A là ma trận đơn vị.
B. A là ma trận khả nghịch.
C. Các hàng (hoặc cột) của A phụ thuộc tuyến tính.
D. Các hàng (hoặc cột) của A độc lập tuyến tính.
11. Cho không gian vector V = span{v1, v2, v3} với v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 2). Số chiều của không gian vector V là:
12. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Vector x sao cho Ax = λx với một số vô hướng λ.
B. Số vô hướng λ sao cho tồn tại vector khác không x thỏa mãn Ax = λx.
C. Định thức của ma trận A.
D. Hạng của ma trận A.
13. Phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận KHÔNG bao gồm phép toán nào sau đây?
A. Đổi chỗ hai hàng.
B. Nhân một hàng với một số khác không.
C. Cộng một bội số của một hàng vào hàng khác.
D. Đổi chỗ hai cột.
14. Phát biểu nào sau đây về không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0 là đúng?
A. Không gian nghiệm luôn là tập rỗng.
B. Không gian nghiệm luôn chứa vector không.
C. Không gian nghiệm không phải là không gian vector.
D. Số chiều của không gian nghiệm luôn bằng hạng của ma trận A.
15. Ma trận A được gọi là ma trận đối xứng nếu:
A. A = -AT
B. A = AT
C. A⁻¹ = AT
D. A⁻¹ = -AT
16. Cho ma trận A vuông cấp n. Đa thức đặc trưng của A được định nghĩa là:
A. det(A)
B. det(A - λI)
C. det(λI - A)
D. tr(A)
17. Phép biến đổi tuyến tính T: V → W vừa đơn ánh vừa toàn ánh được gọi là:
A. Đơn cấu (monomorphism)
B. Toàn cấu (epimorphism)
C. Đẳng cấu (isomorphism)
D. Tự đồng cấu (endomorphism)
18. Tích của hai ma trận A và B được xác định khi nào?
A. Khi số hàng của A bằng số hàng của B.
B. Khi số cột của A bằng số cột của B.
C. Khi số cột của A bằng số hàng của B.
D. Khi số hàng của A bằng số cột của B.
19. Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là đúng về định thức?
A. det(2A) = 2det(A)
B. det(AT) = -det(A)
C. det(AB) = det(A)det(B)
D. det(A + B) = det(A) + det(B)
20. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0, với A là ma trận vuông cấp n. Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi:
A. det(A) ≠ 0
B. det(A) = 0
C. Rank(A) = n
D. Rank(A) = 0
21. Vector riêng của ma trận A là gì?
A. Vector x sao cho Ax = λx với mọi số vô hướng λ.
B. Vector khác không x sao cho Ax = λx với một số vô hướng λ.
C. Vector cột của ma trận A.
D. Vector hàng của ma trận A.
22. Phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép quay trong R²?
A. T(x, y) = (x + 1, y)
B. T(x, y) = (2x, 2y)
C. T(x, y) = (y, -x)
D. T(x, y) = (x², y)
23. Tổng các giá trị riêng của ma trận vuông A bằng:
A. Định thức của A.
B. Vết của A (tr(A)).
C. Hạng của A.
D. Số chiều của không gian nghiệm của Ax = 0.
24. Tích các giá trị riêng của ma trận vuông A bằng:
A. Định thức của A.
B. Vết của A (tr(A)).
C. Hạng của A.
D. Số chiều của không gian nghiệm của Ax = 0.
25. Hạng của ma trận là gì?
A. Số hàng của ma trận.
B. Số cột của ma trận.
C. Số chiều của không gian nghiệm của hệ Ax = 0.
D. Số chiều của không gian sinh bởi các vector cột (hoặc hàng) của ma trận.
26. Cho ma trận A = [[2, 0], [0, 3]]. Giá trị riêng của A là:
A. 2 và 3
B. 0 và 0
C. 2 và 0
D. 3 và 0
27. Trong không gian R³, tích có hướng của hai vector u và v là một vector:
A. Cùng phương với u và v.
B. Vuông góc với cả u và v.
C. Nằm trong mặt phẳng chứa u và v.
D. Song song với mặt phẳng chứa u và v.
28. Cho hai không gian con U và W của không gian vector V. Tổng U + W được định nghĩa là:
A. U ∩ W
B. {u + w | u ∈ U, w ∈ W}
C. U ∪ W
D. {u - w | u ∈ U, w ∈ W}
29. Phép biến đổi tuyến tính T: R² → R² được cho bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[1, 1], [2, -1]]
30. Cơ sở của không gian vector V là gì?
A. Một tập sinh của V.
B. Một tập con độc lập tuyến tính của V.
C. Một tập con độc lập tuyến tính và sinh ra V.
D. Bất kỳ tập hợp các vector trong V.
