Đề 1 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Toán cao cấp

1. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds dùng để tính đại lượng nào?

A. Diện tích bề mặt

B. Thể tích khối

C. Khối lượng của dây cong

D. Công của lực dọc theo đường cong

2. Công thức nào sau đây là công thức khai triển Taylor của hàm số eˣ tại x = 0?

A. ∑ (xⁿ ∕ n!) từ n=0 đến ∞

B. ∑ ((-1)ⁿ × xⁿ ∕ n!) từ n=0 đến ∞

C. ∑ (xⁿ ∕ n) từ n=1 đến ∞

D. ∑ ((-1)ⁿ × xⁿ ∕ n) từ n=1 đến ∞

3. Hàm số f(x, y) = x² + y² có điểm dừng tại điểm nào?

A. (1, 1)

B. (0, 0)

C. (1, 0)

D. (0, 1)

4. Định thức của ma trận A = [[2, 1], [3, 4]] là bao nhiêu?

A. 5

B. 11

C. -5

D. -11

5. Trong không gian metric, một dãy Cauchy là dãy như thế nào?

A. Dãy hội tụ đến một giới hạn trong không gian metric đó.

B. Dãy bị chặn.

C. Dãy mà khoảng cách giữa các phần tử đủ xa nhau nhỏ tùy ý khi chỉ số đủ lớn.

D. Dãy mà khoảng cách giữa hai phần tử bất kỳ nhỏ tùy ý.

6. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?

A. y′` + 3y′ - 2y = x²

B. y′ + 2y = sin(x)

C. (y′)² + y = eˣ

D. y′`y′ + y = 0

7. Phương pháp nào sau đây thường được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính?

A. Phương pháp Newton

B. Phương pháp Euler

C. Phương pháp Gauss-Jordan

D. Phương pháp Runge-Kutta

8. Tích phân bất định của hàm số f(x) = cos(x) là hàm số nào sau đây?

A. -sin(x) + C

B. sin(x) + C

C. -cos(x) + C

D. tan(x) + C

9. Hàm số nào sau đây là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′` + y = 0?

A. y = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ

B. y = C₁cos(x) + C₂sin(x)

C. y = C₁x + C₂

D. y = C₁eˣ + C₂x

10. Đường cong mức (level curve) của hàm số f(x, y) = x² + y² = c (với c là hằng số dương) là hình gì?

A. Đường thẳng

B. Parabol

C. Elip

D. Đường tròn

11. Giá trị riêng của ma trận A là gì?

A. Vectơ không gian cột không bị thay đổi hướng khi nhân với ma trận A.

B. Vectơ không gian hàng không bị thay đổi hướng khi nhân với ma trận A.

C. Một số vô hướng λ sao cho tồn tại vectơ khác không v thỏa mãn Av = λv.

D. Một ma trận vuông có định thức bằng 0.

12. Điều kiện cần để chuỗi số ∑ aₙ hội tụ là gì?

A. limₙ→∞ aₙ = 0

B. limₙ→∞ aₙ = 1

C. ∑ |aₙ| hội tụ

D. Chuỗi là chuỗi hình học với công bội |q| < 1

13. Thể tích của khối hộp chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b và chiều cao c được tính bằng công thức nào?

A. 2(ab + bc + ca)

B. abc

C. a + b + c

D. (1∕3)abc

14. Tích phân ∫ dx∕(x² + a²) bằng bao nhiêu?

A. (1∕a)arctan(x∕a) + C

B. arctan(x∕a) + C

C. (1∕a)ln|x² + a²| + C

D. ln|x² + a²| + C

15. Trong không gian vectơ, cơ sở (basis) của một không gian vectơ là gì?

A. Một tập hợp các vectơ sinh ra không gian đó.

B. Một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính.

C. Một tập hợp các vectơ trực giao.

D. Một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính và sinh ra không gian đó.

16. Tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA trên miền D dùng để tính đại lượng nào nếu f(x, y) = 1?

A. Chu vi miền D

B. Diện tích miền D

C. Thể tích khối

D. Khối lượng miền D

17. Đạo hàm của hàm số f(x) = x³ - 2x² + 5x - 7 tại điểm x = 2 là bao nhiêu?

A. 9

B. 5

C. 12

D. 3

18. Trong không gian vectơ R³, tích có hướng của hai vectơ a = (a₁, a₂, a₃) và b = (b₁, b₂, b₃) là một vectơ như thế nào?

A. Song song với cả a và b.

B. Vuông góc với a nhưng song song với b.

C. Vuông góc với cả a và b.

D. Song song với a nhưng vuông góc với b.

19. Phép biến đổi Laplace biến hàm số f(t) = 1 thành hàm số nào trong miền phức s?

A. 1

B. 1∕s

C. s

D. 1∕s²

20. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = xy² + x³y theo biến x là gì?

A. y² + 3x²

B. 2xy + x³

C. y² + 3x²y

D. 2xy + 3x²y

21. Đạo hàm của hàm số ngược arcsin(x) là gì?

A. 1∕√(1 - x²)

B. -1∕√(1 - x²)

C. 1∕(1 + x²)

D. -1∕(1 + x²)

22. Trong giải tích vectơ, toán tử `∇` (nabla) đại diện cho toán tử nào?

A. Divergence

B. Curl

C. Gradient

D. Laplacian

23. Trong lý thuyết đồ thị, bậc của một đỉnh là gì?

A. Số cạnh trong đồ thị.

B. Số đỉnh trong đồ thị.

C. Số cạnh liên thuộc với đỉnh đó.

D. Số đường đi ngắn nhất từ đỉnh đó đến tất cả các đỉnh khác.

24. Chuỗi số ∑ (1∕nᵖ) hội tụ khi nào?

A. p ≤ 1

B. p < 1

C. p > 1

D. p = 1

25. Giá trị của giới hạn limₓ→₀ (sin(x)∕x) bằng bao nhiêu?

A. 0

B. 1

C. ∞

D. Không tồn tại

26. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để một hàm số f(x) liên tục tại điểm x₀?

A. limₓ→ₓ₀ f(x) tồn tại.

B. f(x₀) được xác định.

C. limₓ→ₓ₀ f(x) = f(x₀).

D. f(x) có đạo hàm tại x₀.

27. Ma trận nào sau đây là ma trận đơn vị?

A. [[1, 0], [0, 1]]

B. [[1, 1], [0, 1]]

C. [[0, 1], [1, 0]]

D. [[1, 0], [1, 1]]

28. Trong không gian R³, phương trình x² + y² + z² = R² biểu diễn hình gì?

A. Mặt phẳng

B. Đường tròn

C. Mặt cầu

D. Hình trụ

29. Phép biến đổi Fourier biến hàm số f(t) từ miền thời gian t sang miền nào?

A. Miền không gian

B. Miền tần số

C. Miền phức

D. Miền xác suất

30. Hàm số nào sau đây không phải là hàm số giải tích (analytic function)?

A. sin(x)

B. eˣ

C. |x|

D. cos(x)