1. Trong không gian vectơ, cơ sở của không gian vectơ là gì?
A. Một hệ vectơ độc lập tuyến tính sinh ra không gian vectơ đó
B. Một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính sinh ra không gian vectơ đó
C. Một hệ vectơ độc lập tuyến tính không sinh ra không gian vectơ đó
D. Một hệ vectơ bất kỳ trong không gian vectơ đó
2. Cho phương trình vi phân y'' + 4y = 0. Phương trình đặc trưng của phương trình này là:
A. r² + 4 = 0
B. r + 4 = 0
C. r² - 4 = 0
D. 4r² + 1 = 0
3. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân Bernoulli?
A. y' + p(x)y = q(x)yⁿ, n ≠ 0, 1
B. y' + p(x)y = q(x)
C. y' + p(x)y² = q(x)
D. y'' + p(x)y = q(x)
4. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch khi nào?
A. Khi định thức của A khác 0
B. Khi tất cả các phần tử của A đều khác 0
C. Khi hạng của A nhỏ hơn cấp của ma trận
D. Khi A là ma trận đường chéo
5. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = x³y + xy² theo biến x là:
A. 3x²y + y²
B. x³ + 2xy
C. 3x² + 2y
D. 3x²y + 2xy
6. Hạng của ma trận là gì?
A. Số chiều của không gian sinh bởi các vectơ hàng (hoặc cột) của ma trận
B. Số lượng hàng của ma trận
C. Số lượng cột của ma trận
D. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận
7. Cho hàm số hai biến z = f(x, y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Biểu thức nào sau đây biểu diễn vi phân toàn phần cấp hai của hàm số?
A. d²z = ∂²f/∂x² dx² + 2 ∂²f/∂x∂y dxdy + ∂²f/∂y² dy²
B. d²z = ∂²f/∂x² dx + 2 ∂²f/∂x∂y dx + ∂²f/∂y² dy
C. d²z = ∂f/∂x² dx² + 2 ∂f/∂x∂y dxdy + ∂f/∂y² dy²
D. d²z = ∂²f/∂x² dx² - 2 ∂²f/∂x∂y dxdy + ∂²f/∂y² dy²
8. Tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA biểu diễn điều gì nếu f(x, y) = 1 và D là một miền phẳng?
A. Diện tích của miền D
B. Thể tích dưới mặt z = f(x, y) trên miền D
C. Độ dài đường biên của miền D
D. Giá trị trung bình của hàm f(x, y) trên miền D
9. Trong phép tính tích phân suy rộng loại 1, điều kiện nào sau đây KHÔNG ĐÚNG để tích phân ∫[a, +∞) f(x) dx hội tụ?
A. f(x) liên tục trên [a, +∞) và |f(x)| ≤ g(x) với ∫[a, +∞) g(x) dx hội tụ
B. lim_(x→+∞) f(x) = 0
C. f(x) ≥ 0 trên [a, +∞) và ∫[a, +∞) f(x) dx tồn tại
D. Tồn tại giới hạn hữu hạn lim_(b→+∞) ∫[a, b] f(x) dx
10. Chuỗi Taylor của hàm số f(x) quanh điểm x = a là gì?
A. ∑_(n=0)^∞ [f^(n)(a)/n!](x - a)^n
B. ∑_(n=0)^∞ [f^(n)(0)/n!](x - a)^n
C. ∑_(n=0)^∞ [f^(n)(a)/n!]x^n
D. ∑_(n=0)^∞ [f(a)/n!](x - a)^n
11. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ a_n được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi nào sau đây hội tụ?
A. ∑_(n=1)^∞ |a_n|
B. ∑_(n=1)^∞ a_n²
C. ∑_(n=1)^∞ (a_n)²
D. ∑_(n=1)^∞ -a_n
12. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo hàm số hai biến f(x, y) đạt cực đại địa phương tại điểm dừng (x₀, y₀)?
A. ∂²f/∂x² < 0, D = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² > 0 tại (x₀, y₀)
B. ∂²f/∂y² < 0, D = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² > 0 tại (x₀, y₀)
C. ∂²f/∂x² > 0, D = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² > 0 tại (x₀, y₀)
D. D = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² < 0 tại (x₀, y₀)
13. Tính chất nào sau đây KHÔNG phải là tính chất của định thức?
A. det(A + B) = det(A) + det(B)
B. det(AB) = det(A)det(B)
C. det(Aᵀ) = det(A)
D. det(kA) = kⁿdet(A) với A là ma trận cấp n
14. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Nghiệm của hệ phương trình này là gì nếu ma trận A khả nghịch?
A. x = A⁻¹b
B. x = bA⁻¹
C. x = b⁻¹A
D. x = Ab⁻¹
15. Điều kiện cần và đủ để chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ c_n(x - a)^n hội tụ tại x ≠ a là gì?
A. Tồn tại bán kính hội tụ R > 0 sao cho chuỗi hội tụ khi |x - a| < R và phân kỳ khi |x - a| > R
B. Chuỗi hội tụ khi và chỉ khi lim_(n→∞) |c_n| = 0
C. Chuỗi hội tụ với mọi x
D. Chuỗi phân kỳ với mọi x ≠ a
16. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y' = f(x)g(y) là gì?
A. ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx + C
B. ∫ g(y) dy = ∫ f(x) dx + C
C. y = ∫ f(x)g(y) dx + C
D. y = ∫ [f(x) + g(y)] dx + C
17. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số thuần nhất?
A. y'' + 3y' - 2y = 0
B. y'' + 3y' - 2y = x
C. y'' + 3y'² - 2y = 0
D. y'' + 3y' - 2xy = 0
18. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Các giá trị λ thỏa mãn det(A - λI) = 0, với I là ma trận đơn vị
B. Các giá trị λ thỏa mãn det(A - λ) = 0
C. Các giá trị λ thỏa mãn det(A + λI) = 0
D. Các giá trị λ thỏa mãn det(A + λ) = 0
19. Trong không gian R³, tích hỗn tạp của ba vectơ u, v, w, ký hiệu là (u, v, w), có giá trị bằng gì?
A. u · (v × w)
B. u × (v · w)
C. (u · v) × w
D. (u × v) · (v × w)
20. Trong phép biến đổi Laplace, biến đổi Laplace của đạo hàm f'(t) được biểu diễn như thế nào qua biến đổi Laplace của f(t), ký hiệu là F(s)?
A. sF(s) - f(0)
B. sF(s) + f(0)
C. F(s)/s - f(0)
D. F(s)/s + f(0)
21. Khái niệm gradient của hàm số vô hướng f(x, y, z) tại một điểm là gì?
A. Một vectơ chỉ hướng tăng nhanh nhất của hàm số tại điểm đó
B. Một số vô hướng biểu thị độ lớn của sự thay đổi hàm số
C. Một vectơ chỉ hướng giảm nhanh nhất của hàm số tại điểm đó
D. Một đường cong mức của hàm số
22. Tích phân đường cong kín ∫_C F · dr bằng 0 nếu trường vectơ F là trường vectơ nào?
A. Trường vectơ thế
B. Trường vectơ xoáy
C. Trường vectơ bất kỳ
D. Trường vectơ hằng
23. Tích phân đường loại 2 ∫_C P(x, y)dx + Q(x, y)dy phụ thuộc vào yếu tố nào?
A. Đường cong C và hàm số P(x, y), Q(x, y)
B. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C
C. Chỉ hàm số P(x, y), Q(x, y)
D. Chỉ đường cong C
24. Trong không gian vectơ R³, cho hai vectơ u = (1, 2, -1) và v = (0, 1, 3). Tích có hướng của u và v là vectơ nào?
A. (7, -3, 1)
B. (7, 3, 1)
C. (-7, 3, 1)
D. (1, -3, 7)
25. Điều kiện để một hệ vectơ là phụ thuộc tuyến tính là gì?
A. Tồn tại một tổ hợp tuyến tính khác không của các vectơ trong hệ bằng vectơ không
B. Mọi tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong hệ đều bằng vectơ không
C. Không tồn tại tổ hợp tuyến tính khác không của các vectơ trong hệ bằng vectơ không
D. Các vectơ trong hệ đôi một vuông góc
26. Giá trị của tích phân suy rộng ∫_(0)^∞ e^(-x) dx bằng bao nhiêu?
27. Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để làm gì?
A. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến
B. Tìm cực trị tự do của hàm số nhiều biến
C. Giải phương trình vi phân
D. Tính tích phân bội
28. Cho hàm số f(x, y) = x² + y² - 4x + 6y + 10. Điểm dừng của hàm số này là điểm nào?
A. (2, -3)
B. (-2, 3)
C. (2, 3)
D. (-2, -3)
29. Để tìm cực trị của hàm số nhiều biến, ta cần giải hệ phương trình nào?
A. Hệ phương trình đạo hàm riêng bậc nhất bằng 0
B. Hệ phương trình đạo hàm riêng bậc hai bằng 0
C. Hệ phương trình đạo hàm riêng bậc nhất lớn hơn 0
D. Hệ phương trình đạo hàm riêng bậc hai nhỏ hơn 0
30. Trong không gian R³, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?
A. 2x + 3y - z = 5
B. x² + y² + z² = 9
C. x² + y = 2
D. xy + z = 1
