1. Chuỗi số ∑n=1<∕sub>∞<∕sup> an<∕sub> được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi nào sau đây hội tụ?
A. ∑n=1<∕sub>∞<∕sup> an<∕sub>
B. ∑n=1<∕sub>∞<∕sup> |an<∕sub>|
C. ∑n=1<∕sub>∞<∕sup> (an<∕sub>)2<∕sup>
D. ∑n=1<∕sub>∞<∕sup> -an<∕sub>
2. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp của hàm số f(x, y) khả vi cấp hai liên tục tại điểm (a, b) được định nghĩa như thế nào?
A. fxy<∕sub>(a, b) = ∂∕∂x (∂f∕∂y)(a, b)
B. fxy<∕sub>(a, b) = ∂∕∂y (∂f∕∂x)(a, b)
C. fxy<∕sub>(a, b) = ∂2<∕sup>f∕∂x∂y (a, b)
D. fxy<∕sub>(a, b) = ∂2<∕sup>f∕∂y∂x (a, b)
3. Trong không gian R3<∕sup>, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0<∕sub>(x0<∕sub>, y0<∕sub>, z0<∕sub>) và có vectơ chỉ phương v = (a, b, c) là:
A. x = x0<∕sub> + at, y = y0<∕sub> + bt, z = z0<∕sub> + ct
B. x = x0<∕sub> + a, y = y0<∕sub> + b, z = z0<∕sub> + c
C. x = at, y = bt, z = ct
D. x = x0<∕sub>a + t, y = y0<∕sub>b + t, z = z0<∕sub>c + t
4. Hàm số f(x, y) = √(x2<∕sup> + y2<∕sup>) có khả vi tại điểm (0, 0) không?
A. Có, và đạo hàm riêng fx<∕sub>(0, 0) = 0, fy<∕sub>(0, 0) = 0.
B. Có, nhưng đạo hàm riêng không xác định.
C. Không, vì không liên tục tại (0, 0).
D. Không, vì đạo hàm riêng không tồn tại tại (0, 0).
5. Chuỗi lũy thừa ∑n=0<∕sub>∞<∕sup> cn<∕sub>(x - a)n<∕sup> có bán kính hội tụ R. Miền hội tụ của chuỗi là:
A. (a - R, a + R)
B. [a - R, a + R]
C. (a - R, a + R] hoặc [a - R, a + R)
D. Tùy thuộc vào sự hội tụ tại x = a ± R, miền hội tụ có thể là (a - R, a + R), [a - R, a + R], (a - R, a + R] hoặc [a - R, a + R).
6. Trong tích phân mặt loại 1 ∫∫S<∕sub> f(x, y, z) dS, dS biểu diễn yếu tố nào?
A. Yếu tố thể tích.
B. Yếu tố diện tích mặt.
C. Yếu tố độ dài đường cong.
D. Yếu tố pháp tuyến.
7. Trong định lý Green, mối liên hệ giữa tích phân đường và tích phân diện tích được thiết lập cho loại miền nào?
A. Miền đơn liên.
B. Miền đa liên.
C. Mọi miền đóng.
D. Mọi miền bị chặn.
8. Tính tích phân suy rộng ∫1<∕sub>∞<∕sup> (1∕x2<∕sup>) dx.
A. 1
B. 0
C. ∞
D. Không xác định
9. Tính phân kỳ của trường vectơ F = (x2<∕sup>, y2<∕sup>, z2<∕sup>) tại điểm (1, 1, 1).
10. Công thức đổi biến trong tích phân kép sang tọa độ cực là:
A. dxdy = rdrdθ
B. dxdy = drdθ
C. dxdy = r2<∕sup>drdθ
D. dxdy = rdθdr
11. Cho trường vectơ F = (P, Q, R). Điều kiện để trường vectơ F là trường thế (conservative vector field) là:
A. curl F = 0
B. div F = 0
C. ∇ × F ≠ 0
D. ∇ ⋅ F ≠ 0
12. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ = y là:
A. y = Cex<∕sup>
B. y = C
C. y = ex<∕sup> + C
D. y = x + C
13. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực trị tại điểm (x0<∕sub>, y0<∕sub>)?
A. ∇f(x0<∕sub>, y0<∕sub>) = 0
B. det(H(f)(x0<∕sub>, y0<∕sub>)) > 0
C. fxx<∕sub>(x0<∕sub>, y0<∕sub>) > 0 và fyy<∕sub>(x0<∕sub>, y0<∕sub>) > 0
D. fxx<∕sub>(x0<∕sub>, y0<∕sub>) < 0 và fyy<∕sub>(x0<∕sub>, y0<∕sub>) < 0
14. Cho miền D giới hạn bởi y = x2<∕sup> và y = x. Tính diện tích miền D.
A. 1∕6
B. 1∕3
C. 1∕2
D. 2∕3
15. Giá trị của tích phân đường ∫C<∕sub> (x2<∕sup> + y2<∕sup>) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).
A. 2√2∕3
B. √2∕3
C. 2∕3
D. √2
16. Chuỗi Taylor của hàm số ex<∕sup> tại x = 0 là:
A. ∑n=0<∕sub>∞<∕sup> xn<∕sup>∕n!
B. ∑n=0<∕sub>∞<∕sup> xn<∕sup>
C. ∑n=1<∕sub>∞<∕sup> xn<∕sup>∕n!
D. ∑n=1<∕sub>∞<∕sup> xn<∕sup>
17. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x2<∕sup> + y2<∕sup> trên đường tròn x2<∕sup> + y2<∕sup> = 1.
A. Cực đại tại mọi điểm trên đường tròn.
B. Cực tiểu tại mọi điểm trên đường tròn.
C. Không có cực trị.
D. Vừa cực đại vừa cực tiểu tại mọi điểm trên đường tròn.
18. Khẳng định nào sau đây về tích phân bội hai là đúng?
A. Tích phân bội hai luôn dương.
B. Tích phân bội hai có thể âm, dương hoặc bằng không.
C. Tích phân bội hai chỉ có thể bằng không khi hàm số bằng không.
D. Tích phân bội hai luôn bằng diện tích miền lấy tích phân.
19. Điều kiện hội tụ của chuỗi hình học ∑n=0<∕sub>∞<∕sup> arn<∕sup> là:
A. |r| < 1
B. |r| ≤ 1
C. |r| > 1
D. r < 1
20. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số không thuần nhất?
A. y′' + 3y′ + 2y = sinx
B. y′' + 3y′ + 2y = 0
C. y′' + 3y′ + 2yy′ = sinx
D. y′' + 3y′ + 2y = y2<∕sup>
21. Công thức Stokes liên hệ tích phân đường với tích phân mặt nào?
A. Tích phân mặt của trường vectơ.
B. Tích phân mặt của rot trường vectơ.
C. Tích phân mặt của div trường vectơ.
D. Tích phân mặt loại 1.
22. Cho hàm số f(x, y) = x3<∕sup> + y3<∕sup> - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
23. Cho hàm số f(x, y) = xy. Tính đạo hàm theo hướng của vectơ v = (1, 1) tại điểm (1, 2).
A. 3√2∕2
B. 3
C. 3√2
D. √2∕2
24. Tính rot (curl) của trường vectơ F = (yz, xz, xy).
A. (0, 0, 0)
B. (x, y, z)
C. (1, 1, 1)
D. (yz, xz, xy)
25. Tìm nghiệm riêng của phương trình y′ + 2y = e-2x<∕sup>.
A. xe-2x<∕sup>
B. e-2x<∕sup>
C. Ce-2x<∕sup>
D. x
26. Tiêu chuẩn D′Alembert (tỉ số) dùng để xét sự hội tụ của chuỗi dương ∑n=1<∕sub>∞<∕sup> un<∕sub> dựa trên giới hạn L = limn→∞<∕sub> (un+1<∕sub>∕un<∕sub>). Nếu L = 1 thì kết luận gì?
A. Chuỗi hội tụ.
B. Chuỗi phân kỳ.
C. Tiêu chuẩn không kết luận được.
D. Chuỗi vừa hội tụ vừa phân kỳ.
27. Đường cong mức của hàm số z = f(x, y) là gì?
A. Tập hợp các điểm (x, y) sao cho f(x, y) = c (với c là hằng số).
B. Đồ thị của hàm số z = f(x, y).
C. Đường tiếp tuyến với bề mặt z = f(x, y).
D. Vectơ gradient của hàm số f(x, y).
28. Cho phương trình vi phân y′' - 3y′ + 2y = 0. Nghiệm tổng quát của phương trình là:
A. y = C1<∕sub>ex<∕sup> + C2<∕sub>e2x<∕sup>
B. y = C1<∕sub>e-x<∕sup> + C2<∕sub>e-2x<∕sup>
C. y = C1<∕sub>cosx + C2<∕sub>sinx
D. y = (C1<∕sub> + C2<∕sub>x)ex<∕sup>
29. Cho tích phân ∫0<∕sub>1<∕sup> ∫0<∕sub>√1-x2<∕sup><∕sup> f(x, y) dy dx. Miền tích phân D được mô tả tốt nhất bằng:
A. Nửa hình tròn đơn vị phía trên trục Ox.
B. Hình tròn đơn vị.
C. Hình vuông [0, 1] × [0, 1].
D. Nửa hình tròn đơn vị phía bên phải trục Oy.
30. Tích phân đường loại 2 ∫C<∕sub> Pdx + Qdy phụ thuộc vào yếu tố nào sau đây?
A. Chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường cong C.
B. Phụ thuộc vào dạng đường cong C và hàm số P, Q.
C. Chỉ phụ thuộc vào hàm số P, Q.
D. Không phụ thuộc vào đường cong C.
