1. Cho mặt S là mặt cầu x² + y² + z² = 1. Vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài tại điểm (1, 0, 0) là:
A. (1, 0, 0)
B. (0, 1, 0)
C. (0, 0, 1)
D. (-1, 0, 0)
2. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (xⁿ ∕ n!) là:
3. Chuỗi Taylor của hàm số sin(x) tại x = 0 là:
A. x - x³∕3! + x⁵∕5! - …
B. 1 - x²∕2! + x⁴∕4! - …
C. 1 + x + x²∕2! + x³∕3! + …
D. x + x³∕3! + x⁵∕5! + …
4. Cho trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z). Tính div(F) tại điểm (1, 2, 3).
5. Mặt nào sau đây là mặt bậc hai elliptic paraboloid?
A. z = x² + y²
B. x² + y² + z² = 1
C. x²∕a² + y²∕b² - z²∕c² = 1
D. x²∕a² + y²∕b² - z²∕c² = 0
6. Đạo hàm riêng cấp hai của hàm số f(x, y) = x³y² theo biến x hai lần là:
A. 6xy²
B. 6x²y
C. 3x²y²
D. 2x³y
7. Tích phân ∫_0^∞ e⁻ˣ dx bằng bao nhiêu?
8. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng?
A. y′' + 2y′ + y = sin(x)
B. y′' + y′² + y = 0
C. y′' + xy′ + y = 0
D. y′' + y′ + √y = 0
9. Tính curl của trường vectơ F(x, y, z) = (y, z, x).
A. (-1, -1, -1)
B. (1, 1, 1)
C. (0, 0, 0)
D. (x, y, z)
10. Cho hàm số f(x, y) = eˣ^² ⁺ ʸ^². Vectơ gradient của f tại điểm (1, 0) là:
A. (2e, 0)
B. (e, 0)
C. (0, 2e)
D. (0, e)
11. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1∕nᵖ) hội tụ khi nào?
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
12. Hệ tọa độ nào sau đây phù hợp nhất để tính tích phân trên một hình trụ tròn?
A. Tọa độ trụ
B. Tọa độ cầu
C. Tọa độ Descartes
D. Tọa độ cong
13. Tích phân đường loại 2 ∫_C F · dr, với F = (x, y) và C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1), bằng:
14. Điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực trị tại điểm (x0, y0) là gì?
A. ∇f(x0, y0) = (0, 0)
B. ∂^2f∕∂x² > 0 và ∂^2f∕∂y² > 0 tại (x0, y0)
C. det(H(x0, y0)) > 0
D. f(x, y) liên tục tại (x0, y0)
15. Cho hàm số f(x, y) = x² - y². Điểm (0, 0) là điểm gì của hàm số này?
A. Điểm yên ngựa
B. Điểm cực đại địa phương
C. Điểm cực tiểu địa phương
D. Điểm cực trị toàn cục
16. Cho hàm số f(x, y) = xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
17. Tiêu chuẩn nào sau đây được sử dụng để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số dương bằng cách so sánh với một tích phân?
A. Tiêu chuẩn tích phân
B. Tiêu chuẩn so sánh
C. Tiêu chuẩn tỷ lệ
D. Tiêu chuẩn căn
18. Cho hàm số f(x, y, z) = xyz. Đạo hàm theo hướng của f tại điểm (1, 1, 1) theo hướng vectơ v = (1, 1, 1) là:
19. Trong không gian vectơ R³, tích vô hướng của hai vectơ u = (1, 2, -1) và v = (3, -1, 2) bằng bao nhiêu?
20. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu được tính bằng công thức nào?
A. ∫∫∫_E f(ρ, θ, φ) ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
B. ∫∫∫_E f(ρ, θ, φ) ρ² cos(φ) dρ dφ dθ
C. ∫∫∫_E f(ρ, θ, φ) ρ sin(φ) dρ dφ dθ
D. ∫∫∫_E f(ρ, θ, φ) ρ cos(φ) dρ dφ dθ
21. Cho chuỗi hình học ∑_(n=0)^∞ rⁿ. Chuỗi này hội tụ khi nào?
A. |r| < 1
B. r < 1
C. r ≤ 1
D. |r| ≤ 1
22. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?
A. dy∕dx = xy
B. dy∕dx = x + y
C. dy∕dx = x² + y²
D. dy∕dx = y∕x + 1
23. Công thức nào sau đây là công thức Green trong mặt phẳng?
A. ∫_C P dx + Q dy = ∬_D (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA
B. ∫_C P dx + Q dy = ∬_D (∂P∕∂x + ∂Q∕∂y) dA
C. ∫_C P dx + Q dy = ∬_D (∂P∕∂y - ∂Q∕∂x) dA
D. ∫_C P dx + Q dy = ∬_D (∂Q∕∂y - ∂P∕∂x) dA
24. Hàm số nào sau đây là hàm thế vị cho trường vectơ F(x, y) = (2x, 2y)?
A. f(x, y) = x² + y²
B. f(x, y) = 2x + 2y
C. f(x, y) = xy
D. f(x, y) = x + y
25. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ = 2x là:
A. y = x² + C
B. y = 2x² + C
C. y = 2 + C
D. y = x + C
26. Cho miền D giới hạn bởi đường tròn x² + y² = 4. Tính diện tích miền D.
27. Trong không gian R³, phương trình x² + y² = 1 biểu diễn hình gì?
A. Hình trụ tròn
B. Mặt cầu
C. Hình tròn
D. Mặt phẳng
28. Tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) = x + y trên đường cong C tham số hóa bởi r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ π, là:
29. Cho miền D là hình vuông [0, 1] x [0, 1]. Giá trị trung bình của hàm f(x, y) = xy trên D là:
30. Trong định lý Stokes, mối liên hệ giữa tích phân đường và tích phân mặt là gì?
A. Tích phân đường của trường vectơ F dọc theo biên của mặt S bằng tích phân mặt của curl(F) trên S.
B. Tích phân đường của trường vectơ F dọc theo biên của mặt S bằng tích phân mặt của div(F) trên S.
C. Tích phân mặt của trường vectơ F trên mặt S bằng tích phân đường của curl(F) dọc theo biên của S.
D. Tích phân mặt của trường vectơ F trên mặt S bằng tích phân đường của div(F) dọc theo biên của S.
