1. Trong không gian metric, một tập hợp được gọi là compact nếu:
A. Mọi dãy trong tập hợp đó đều có dãy con hội tụ về một điểm trong tập hợp
B. Tập hợp đó là đóng và bị chặn
C. Tập hợp đó là mở và bị chặn
D. Tập hợp đó là đóng và không bị chặn
2. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds, với C là đường cong tham số r(t) = (t, t²), 0 ≤ t ≤ 1, và f(x, y) = x + y, được tính bằng công thức nào?
A. ∫_0¹ (t + t²) √(1 + 4t²) dt
B. ∫_0¹ (t + t²) dt
C. ∫_0¹ (x + y) √(1 + 4t²) dt
D. ∫_0¹ √(1 + 4t²) dt
3. Định thức của ma trận A = [[2, 1], [3, 4]] bằng:
4. Giới hạn của hàm số lim (x→0) sin(x)∕x bằng:
A. 1
B. 0
C. ∞
D. Không xác định
5. Đạo hàm của hàm số f(x) = ln(x² + 1) là:
A. 2x ∕ (x² + 1)
B. 1 ∕ (x² + 1)
C. 2ln(x) ∕ (x² + 1)
D. x ∕ (x² + 1)
7. Trong không gian vector R³, tập hợp các vector {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} là:
A. Cơ sở chính tắc của R³
B. Tập sinh của R³ nhưng không độc lập tuyến tính
C. Độc lập tuyến tính nhưng không là tập sinh của R³
D. Không phải là cơ sở của R³
8. Trong tối ưu hóa, phương pháp gradient descent được sử dụng để:
A. Tìm cực tiểu địa phương của hàm số
B. Tìm cực đại địa phương của hàm số
C. Tìm cực trị tuyệt đối của hàm số
D. Giải phương trình tuyến tính
9. Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc là:
A. Biến ngẫu nhiên nhận một số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị
B. Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong một khoảng liên tục
C. Biến ngẫu nhiên luôn nhận giá trị nguyên
D. Biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất liên tục
10. Phép biến đổi Fourier của hàm số f(t) là:
A. F(ω) = ∫_(-∞)^∞ f(t)e⁻ʲωᵗ dt
B. F(ω) = ∫_(-∞)^∞ f(t)eʲωᵗ dt
C. F(ω) = ∫_(0)^∞ f(t)e⁻ˢᵗ dt
D. F(ω) = ∫_(0)^∞ f(t)eˢᵗ dt
11. Nhóm cyclic là nhóm được sinh bởi:
A. Một phần tử
B. Hai phần tử
C. Ba phần tử
D. Vô số phần tử
12. Phần ảo của số phức z = 3 - 2i là:
13. Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất?
A. y′ + x²y = sin(x)
B. y′' + y′² = x
C. y′ + y*y′ = x
D. y′ × y = x
14. Phương trình sóng một chiều có dạng:
A. ∂^2u∕∂t² = c² ∂^2u∕∂x²
B. ∂u∕∂t = c² ∂^2u∕∂x²
C. ∂^2u∕∂t² = c ∂^2u∕∂x²
D. ∂u∕∂t = c ∂u∕∂x
15. Tích phân bất định của hàm số f(x) = cos(2x) là:
A. sin(2x) ∕ 2 + C
B. -sin(2x) ∕ 2 + C
C. 2sin(2x) + C
D. -2sin(2x) + C
16. Ma trận nào sau đây là ma trận đường chéo?
A. [[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
B. [[1, 1, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
C. [[1, 0, 1], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
D. [[1, 0, 0], [1, 2, 0], [0, 0, 3]]
17. Vector nào sau đây vuông góc với vector (2, -1, 3)?
A. (1, 2, 0)
B. (3, 1, -1)
C. (-1, -2, 1)
D. (1, 2, 1)
18. Giá trị riêng của ma trận A = [[2, 0], [0, 3]] là:
A. 2 và 3
B. 0 và 2
C. 0 và 3
D. 2 và -3
19. Trong lý thuyết đồ thị, bậc của một đỉnh là:
A. Số cạnh liên thuộc với đỉnh đó
B. Số đỉnh kề với đỉnh đó
C. Tổng trọng số của các cạnh liên thuộc với đỉnh đó
D. Số đường đi ngắn nhất từ đỉnh đó đến đỉnh khác
20. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) = 1 là:
A. 1∕s
B. s
C. 1∕s²
D. s²
21. Không gian vector đối ngẫu của không gian vector V là:
A. Không gian các phiếm hàm tuyến tính trên V
B. Không gian các vector vuông góc với V
C. Không gian con của V
D. Không gian chứa V
22. Phân phối chuẩn (Gaussian) được xác định bởi bao nhiêu tham số?
23. Định lý Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân kép
B. Tích phân mặt và tích phân đường
C. Tích phân bội ba và tích phân mặt
D. Tích phân đơn và tích phân kép
24. Trong giải tích số, phương pháp Newton-Raphson được dùng để:
A. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
B. Tính tích phân xác định
C. Giải hệ phương trình tuyến tính
D. Tìm đạo hàm của hàm số
25. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. f(x) = x² + cos(x)
B. f(x) = x³ + sin(x)
C. f(x) = x + 1
D. f(x) = eˣ
26. Đường cong mức của hàm số f(x, y) = x² + y² là:
A. Các đường tròn đồng tâm
B. Các đường thẳng song song
C. Các đường hyperbol
D. Các đường parabol
27. Hàm số f(x, y) = x² + y² đạt cực trị tại điểm nào?
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
28. Chuỗi số nào sau đây hội tụ?
A. ∑ (1∕n) từ n=1 đến ∞
B. ∑ (1∕n²) từ n=1 đến ∞
C. ∑ (n∕ (n+1)) từ n=1 đến ∞
D. ∑ ((-1)ⁿ) từ n=1 đến ∞
29. Trong hình học vi phân, độ cong Gaussian của một mặt cong tại một điểm là:
A. Tích của hai độ cong chính tại điểm đó
B. Trung bình cộng của hai độ cong chính tại điểm đó
C. Độ cong theo một hướng cụ thể
D. Đạo hàm của độ cong trung bình
30. Trong giải tích phức, điểm kỳ dị cô lập của một hàm số là:
A. Điểm mà tại đó hàm số không xác định nhưng tồn tại lân cận không chứa điểm kỳ dị khác
B. Điểm mà tại đó hàm số xác định nhưng không khả vi
C. Điểm mà tại đó hàm số bằng 0
D. Điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0
