1. Để giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b bằng phương pháp khử Gauss, ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên:
A. Ma trận hệ số A
B. Vế phải b
C. Ma trận bổ sung [A|b]
D. Ma trận nghịch đảo A^-1
2. Phép biến đổi tuyến tính T: R^2 -> R^2 được cho bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chuẩn là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[-1, 1], [2, 1]]
3. Không gian con sinh bởi tập hợp các vectơ S = {v1, v2, ..., vk} là:
A. Tập hợp các vectơ trong S
B. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của v1, v2, ..., vk
C. Tập hợp các vectơ vuông góc với v1, v2, ..., vk
D. Tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính với v1, v2, ..., vk
4. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Nếu det(A) ≠ 0, hệ phương trình có:
A. Vô số nghiệm
B. Nghiệm duy nhất
C. Vô nghiệm
D. Không thể xác định số nghiệm
5. Hạng của ma trận là gì?
A. Số chiều của không gian cột
B. Số chiều của không gian hàng
C. Số dòng hoặc số cột nhỏ hơn
D. Cả Answer 1 và Answer 2
6. Phân tích LU của ma trận vuông A là phân tích A thành tích của:
A. Ma trận trực giao Q và ma trận tam giác trên R
B. Ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U
C. Ma trận đường chéo D và ma trận khả nghịch P
D. Ma trận đơn vị I và ma trận A
7. Cho ma trận A kích thước m x n. Số chiều của không gian nghiệm (null space) của A cộng với hạng của A bằng:
A. m
B. n
C. m + n
D. m - n
8. Nếu ma trận A vuông và khả nghịch, giá trị riêng của A^-1 là:
9. Tích vô hướng của hai vectơ u và v bằng 0 khi và chỉ khi:
A. u và v cùng hướng
B. u và v ngược hướng
C. u và v vuông góc
D. Ít nhất một trong hai vectơ là vectơ không
10. Trong không gian vectơ, tập hợp nào sau đây KHÔNG phải là không gian con?
A. Tập hợp các vectơ không
B. Toàn bộ không gian vectơ
C. Đường thẳng đi qua gốc tọa độ
D. Đường thẳng không đi qua gốc tọa độ
11. Cho không gian vectơ V và W. Phép biến đổi tuyến tính T: V -> W là đẳng cấu (isomorphism) khi và chỉ khi:
A. T là đơn ánh
B. T là toàn ánh
C. T vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh
D. T không phải đơn ánh cũng không phải toàn ánh
12. Trong phân tích giá trị сингулярное (SVD) của ma trận A, ma trận Σ là ma trận:
A. Ma trận vuông
B. Ma trận tam giác
C. Ma trận đường chéo với các giá trị сингулярное trên đường chéo
D. Ma trận đơn vị
13. Phép biến đổi tuyến tính T: R^n -> R^m là đơn ánh (injective) khi và chỉ khi:
A. Ker(T) = {0}
B. Im(T) = R^m
C. m = n
D. T là toàn ánh (surjective)
14. Vectơ riêng của ma trận A là gì?
A. Vectơ không
B. Vectơ x khác vectơ không sao cho Ax = λx với λ là giá trị riêng
C. Bất kỳ vectơ nào trong không gian vectơ
D. Vectơ có độ dài bằng 1
15. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vectơ u và v là vectơ:
A. Cùng phương với u và v
B. Vuông góc với mặt phẳng chứa u và v
C. Nằm trong mặt phẳng chứa u và v
D. Có độ dài bằng tổng độ dài của u và v
16. Định thức của ma trận chuyển vị (transpose) của ma trận A bằng:
A. -det(A)
B. 1/det(A)
C. det(A)
D. 0
17. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Vectơ mà khi nhân với ma trận không thay đổi hướng
B. Vectơ mà khi nhân với ma trận chỉ thay đổi hướng
C. Số vô hướng λ sao cho det(A - λI) = 0
D. Số vô hướng λ sao cho (A - λI)x = 0 có nghiệm duy nhất
18. Tính chất nào sau đây KHÔNG phải là tính chất của định thức?
A. det(cA) = c*det(A) với c là số vô hướng
B. det(A+B) = det(A) + det(B)
C. det(AB) = det(A)det(B)
D. Nếu A có hai hàng giống nhau thì det(A) = 0
19. Ứng dụng nào sau đây KHÔNG phải là ứng dụng của đại số tuyến tính?
A. Giải các bài toán tối ưu hóa
B. Mật mã học
C. Phân tích mạch điện
D. Nấu ăn
20. Cơ sở của không gian vectơ là gì?
A. Tập sinh của không gian vectơ
B. Tập độc lập tuyến tính của không gian vectơ
C. Tập sinh và độc lập tuyến tính của không gian vectơ
D. Tập hợp tất cả các vectơ trong không gian vectơ
21. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo một tập hợp các vectơ là độc lập tuyến tính?
A. Tập hợp chứa vectơ không
B. Không có vectơ nào là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại
C. Định thức của ma trận tạo bởi các vectơ (nếu là n vectơ trong R^n) khác 0
D. Phương trình tổ hợp tuyến tính c1v1 + c2v2 + ... + ckvk = 0 chỉ có nghiệm tầm thường c1 = c2 = ... = ck = 0
22. Không gian cột của ma trận A là:
A. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các hàng của A
B. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các cột của A
C. Tập hợp các nghiệm của Ax = 0
D. Tập hợp các vectơ vuông góc với các cột của A
23. Ma trận trực giao là ma trận vuông A thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. A = A^T
B. A = -A^T
C. A^T A = I
D. det(A) = 0
24. Trong không gian vectơ có tích trong, quá trình Gram-Schmidt dùng để làm gì?
A. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng
B. Phân tích LU
C. Chuyển đổi cơ sở bất kỳ thành cơ sở trực giao hoặc trực chuẩn
D. Giải hệ phương trình tuyến tính
25. Phép chiếu trực giao của vectơ v lên không gian con W là:
A. Vectơ thuộc W gần v nhất
B. Vectơ thuộc W xa v nhất
C. Vectơ vuông góc với v
D. Vectơ có độ dài bằng độ dài của v
26. Trong không gian vectơ R^3, vectơ nào sau đây độc lập tuyến tính với vectơ u = (1, 2, 3) và v = (4, 5, 6)?
A. w = (2, 4, 6)
B. w = (5, 7, 9)
C. w = (0, 0, 0)
D. w = (-1, -2, -3)
27. Cho ma trận A và B cùng kích thước. Phát biểu nào sau đây KHÔNG đúng?
A. (A + B)^T = A^T + B^T
B. (cA)^T = cA^T với c là số vô hướng
C. (AB)^T = A^T B^T
D. (A^T)^T = A
28. Chuẩn của vectơ đo lường điều gì?
A. Hướng của vectơ
B. Độ dài của vectơ
C. Vị trí của vectơ
D. Góc giữa vectơ và trục x
29. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi:
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. A là ma trận đường chéo
D. Tất cả các phần tử của A khác 0
30. Phép biến đổi tuyến tính bảo toàn:
A. Độ dài vectơ
B. Góc giữa các vectơ
C. Phép cộng vectơ và phép nhân với số vô hướng
D. Diện tích và thể tích
