1. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (xⁿ ∕ n!).
2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=1, ∞] ((x-2)ⁿ ∕ n).
A. [1, 3)
B. (1, 3]
C. (1, 3)
D. [1, 3]
3. Tính tích phân bất định ∫(2x + 1)eˣ^² ⁺ ˣ dx.
A. eˣ^² ⁺ ˣ + C
B. (x² + x)eˣ^² ⁺ ˣ + C
C. (1∕2)eˣ^² ⁺ ˣ + C
D. (2x + 1)eˣ^² ⁺ ˣ + C
4. Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f∕∂x∂y của hàm f(x, y) = x³y².
A. 6xy
B. 6x²y
C. 3x²y²
D. 2x³y
5. Tích phân suy rộng ∫[1, ∞] (1∕x³) dx hội tụ hay phân kỳ?
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Không xác định
D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
6. Tính diện tích miền D giới hạn bởi y = x² và y = x.
A. 1∕6
B. 1∕3
C. 1∕2
D. 2∕3
7. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình tuyến tính cấp một?
A. y′' + y′sin(x) = x²
B. (y′)² + y = eˣ
C. y′ + xy = x³
D. yy′ + x = 0
8. Chuỗi Taylor của hàm f(x) = sin(x) tại x = 0 là:
A. ∑[n=0, ∞] (-1)ⁿ × (x²ⁿ⁺¹ ∕ (2n+1)!)
B. ∑[n=0, ∞] (xⁿ ∕ n!)
C. ∑[n=0, ∞] (-1)ⁿ × (x²ⁿ ∕ (2n)!)
D. ∑[n=0, ∞] (x²ⁿ⁺¹ ∕ (2n+1)!)
9. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi miền giới hạn bởi y = x², y = 0, x = 1 khi quay quanh trục Ox là:
A. π∕5
B. π∕3
C. π∕2
D. π
10. Công thức nào sau đây là công thức Green?
A. ∮_C (P dx + Q dy) = ∫∫_D (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA
B. ∮_C F · dr = ∫∫_S (curl F) · n dS
C. ∬_S F · n dS = ∭_V div F dV
D. ∫_aᵇ f′(x) dx = f(b) - f(a)
11. Hàm số f(x, y) = ln(x² + y²) có liên tục tại điểm (0, 0) không?
A. Không liên tục
B. Liên tục
C. Vừa liên tục vừa không liên tục
D. Không xác định được
12. Tìm đạo hàm của hàm số F(x) = ∫[0, x²] cos(t²) dt.
A. 2xcos(x⁴)
B. cos(x⁴)
C. -2xsin(x²)
D. sin(x⁴)
13. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để chuỗi số ∑ aₙ hội tụ?
A. lim (n→∞) aₙ = 0
B. lim (n→∞) aₙ = 1
C. ∑ |aₙ| hội tụ
D. aₙ > 0 với mọi n
14. Diện tích mặt tròn xoay khi quay đường cong y = √x, 0 ≤ x ≤ 1 quanh trục Ox là:
A. (2π∕3)(2√2 - 1)
B. (π∕3)(2√2 - 1)
C. (4π∕3)(2√2 - 1)
D. (π)(2√2 - 1)
15. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình tách biến?
A. y′ + y = x
B. y′ = x + y
C. y′ = xy
D. y′' + y = 0
16. Tính tích phân xác định ∫[0, π∕2] sin²(x)cos(x) dx.
A. 1∕3
B. 2∕3
C. 1
D. π∕6
17. Tính tích phân bội hai ∫∫_D xy dA, với D là miền vuông góc [0, 1] × [0, 2].
18. Tính giới hạn lim (x→0, y→0) (x² + y²) ∕ (x + y).
A. 0
B. 1
C. ∞
D. Không tồn tại
19. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds với f(x, y) = x + y và C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1) bằng:
20. Trong tọa độ cực, đường cong r = 2cos(θ) là đường gì?
A. Đường tròn
B. Đường thẳng
C. Elip
D. Parabol
21. Chuỗi số nào sau đây hội tụ?
A. ∑ (n∕(n+1))
B. ∑ (1∕n)
C. ∑ (1∕n²)
D. ∑ (√n∕n)
22. Tìm gradient của hàm f(x, y, z) = x²y + yz².
A. (2xy, x² + z², 2yz)
B. (2x, 2y, 2z)
C. (y, x, z)
D. (x², y, z²)
23. Chuỗi hình học ∑[n=0, ∞] (1∕3)ⁿ có tổng bằng:
24. Độ dài cung của đường cong y = x³∕² từ x = 0 đến x = 1 là:
A. (2∕27)(10√10 - 1)
B. (8∕27)(10√10 - 1)
C. (2∕3)(10√10 - 1)
D. (8∕3)(10√10 - 1)
25. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y′' - 3y′ + 2y = 0 với điều kiện y(0) = 1, y′(0) = 3.
A. 2eˣ - e²ˣ
B. eˣ + e²ˣ
C. e²ˣ - eˣ
D. 2e²ˣ - eˣ
26. Phép biến đổi tọa độ nào sau đây là phép biến đổi sang tọa độ trụ?
A. x = rcos(θ), y = rsin(θ), z = z
B. x = ρsin(φ)cos(θ), y = ρsin(φ)sin(θ), z = ρcos(φ)
C. x = u, y = v, z = w
D. x = x, y = rcos(θ), z = rsin(θ)
27. Tính tích phân suy rộng ∫[0, 1] (1∕√x) dx.
28. Tìm cực trị địa phương của hàm f(x, y) = x² + y² - 2x.
A. Hàm số có cực tiểu địa phương tại (1, 0)
B. Hàm số có cực đại địa phương tại (1, 0)
C. Hàm số có điểm yên ngựa tại (1, 0)
D. Hàm số không có cực trị địa phương
29. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ = 2x là:
A. 2x² + C
B. x² + C
C. e²ˣ + C
D. ln|2x| + C
30. Tính tích phân đường loại 2 ∫_C y dx + x dy, với C là đường tròn x² + y² = 1, ngược chiều kim đồng hồ.
