1. Công thức Green liên hệ tích phân đường trên đường cong kín C và tích phân bội hai trên miền D được giới hạn bởi C. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂P/∂x - ∂Q/∂y) dA
B. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
C. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂P/∂y + ∂Q/∂x) dA
D. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂P/∂x + ∂Q/∂y) dA
2. Giá trị riêng của ma trận A = [[2, 0], [0, 3]] là:
A. 2 và 3
B. 0 và 2
C. 0 và 3
D. 2 và -3
3. Đạo hàm của hàm vectơ r(t) = (t^2, sin(t), e^t) là:
A. (2t, cos(t), e^t)
B. (t, cos(t), e^t)
C. (2t, -cos(t), e^t)
D. (t^3/3, -cos(t), e^t)
4. Hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 đạt cực tiểu địa phương tại điểm:
A. (1, 1)
B. (1, 0)
C. (0, 1)
D. (0, 0)
5. Tích phân đường loại 2 ∫_C P dx + Q dy, với C là đường cong tham số r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π, P(x, y) = -y, Q(x, y) = x. Giá trị của tích phân là:
6. Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất?
A. y'' + 3y' + 2y = sin(x)
B. y'' + 3y' + 2y = 0
C. y'' + 3y' + 2y^2 = 0
D. y'' + 3y' + 2 = 0
7. Cho ma trận A = [[1, 2], [2, 4]]. Định thức của ma trận A là:
8. Xét hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. rank(A) < rank([A|b])
D. rank(A) < số ẩn
9. Hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy có bao nhiêu điểm cực trị địa phương?
10. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x - y + 3z = 5 là:
A. (2, -1, 3)
B. (2, 1, 3)
C. (2, -1, -3)
D. (1, -1/2, 3/2)
11. Cho tích phân bội hai ∫∫_D (x^2 + y^2) dA, với D là hình tròn x^2 + y^2 ≤ R^2. Giá trị của tích phân này là:
A. πR^4 / 2
B. πR^4
C. 2πR^4
D. πR^3 / 2
12. Cho hàm số f(x, y) = ln(x^2 + y^2). Miền xác định của hàm số là:
A. R^2
B. R^2 {(0, 0)}
C. x^2 + y^2 > 0
D. Cả 2 và 3
13. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp f_xy và f_yx của hàm số f(x, y) liên tục tại điểm (x0, y0). Phát biểu nào sau đây luôn đúng?
A. f_xy(x0, y0) > f_yx(x0, y0)
B. f_xy(x0, y0) < f_yx(x0, y0)
C. f_xy(x0, y0) = f_yx(x0, y0)
D. Không có mối quan hệ xác định giữa f_xy(x0, y0) và f_yx(x0, y0)
14. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1/n^p) hội tụ khi và chỉ khi:
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p = 1
D. p > 1
15. Giá trị của tích phân suy rộng ∫_0^∞ e^(-x) dx là:
16. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Gradient của hàm số tại điểm (1, 0) là:
A. (2e, 0)
B. (e, 0)
C. (0, 2e)
D. (0, e)
17. Chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x^n / n!) có bán kính hội tụ là:
18. Cho hàm số f(x, y) = xy / (x^2 + y^2) khi (x, y) ≠ (0, 0) và f(0, 0) = 0. Hàm số f(x, y) có liên tục tại (0, 0) không?
A. Liên tục
B. Không liên tục
C. Liên tục theo x nhưng không liên tục theo y
D. Liên tục theo y nhưng không liên tục theo x
19. Tích phân bất định ∫ x*cos(x) dx bằng:
A. x*sin(x) + cos(x) + C
B. x*sin(x) - cos(x) + C
C. x*cos(x) + sin(x) + C
D. x*cos(x) - sin(x) + C
20. Trong phép tính tích phân bội ba, Jacobian của phép đổi biến từ tọa độ Descartes (x, y, z) sang tọa độ cầu (ρ, θ, φ) là:
A. ρ
B. ρ^2
C. ρ^2 sin(φ)
D. ρ sin(φ)
21. Cho phương trình vi phân y' + y = e^(-x). Nghiệm tổng quát của phương trình là:
A. y = xe^(-x) + C
B. y = e^(-x) + C
C. y = Ce^(-x)
D. y = xe^(x) + C
22. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
23. Dạng toàn phương Q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2 là:
A. Xác định dương
B. Xác định âm
C. Nửa xác định dương
D. Không xác định
24. Trong không gian R^3, phương trình x^2 + y^2 - 2z^2 = 1 biểu diễn mặt:
A. Mặt paraboloid elliptic
B. Mặt hyperboloid một tầng
C. Mặt hyperboloid hai tầng
D. Mặt nón
25. Trong không gian R^3, khoảng cách từ điểm M(1, 2, 3) đến mặt phẳng Oxy là:
26. Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả nghịch là:
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. rank(A) < n (với n là cấp của ma trận)
D. Các cột của A phụ thuộc tuyến tính
27. Trong không gian R^3, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1, 0, -1) và có vectơ chỉ phương v = (2, -1, 3) là:
A. x = 1 + 2t, y = -t, z = -1 + 3t
B. x = 1 - 2t, y = t, z = -1 - 3t
C. x = 2 + t, y = -1, z = 3 - t
D. x = 1 + t, y = -2t, z = -1 + 3t
28. Trong không gian R^2, phép biến đổi tuyến tính T(x, y) = (2x + y, x - y) được biểu diễn bằng ma trận nào?
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[-1, 1], [2, 1]]
29. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vectơ u = (1, 0, 0) và v = (0, 1, 0) là:
A. (1, 1, 0)
B. (0, 0, 1)
C. (0, 0, -1)
D. Không xác định
30. Trong không gian vectơ R^3, xét tập hợp S = {(x, y, z) | x + y + z = 0}. S là:
A. Không phải là không gian vectơ con của R^3
B. Không gian vectơ con của R^3 với số chiều là 3
C. Không gian vectơ con của R^3 với số chiều là 2
D. Không gian vectơ con của R^3 với số chiều là 1
