Đề 14 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Toán cao cấp 2

1. Công thức Green liên hệ tích phân đường trên đường cong kín C và tích phân bội hai trên miền D được giới hạn bởi C. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂P/∂x - ∂Q/∂y) dA

B. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA

C. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂P/∂y + ∂Q/∂x) dA

D. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂P/∂x + ∂Q/∂y) dA

2. Giá trị riêng của ma trận A = [[2, 0], [0, 3]] là:

A. 2 và 3

B. 0 và 2

C. 0 và 3

D. 2 và -3

3. Đạo hàm của hàm vectơ r(t) = (t^2, sin(t), e^t) là:

A. (2t, cos(t), e^t)

B. (t, cos(t), e^t)

C. (2t, -cos(t), e^t)

D. (t^3/3, -cos(t), e^t)

4. Hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 đạt cực tiểu địa phương tại điểm:

A. (1, 1)

B. (1, 0)

C. (0, 1)

D. (0, 0)

5. Tích phân đường loại 2 ∫_C P dx + Q dy, với C là đường cong tham số r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π, P(x, y) = -y, Q(x, y) = x. Giá trị của tích phân là:

A. 0

B. π

C. 2π

D. 4π

6. Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất?

A. y`` + 3y` + 2y = sin(x)

B. y`` + 3y` + 2y = 0

C. y`` + 3y` + 2y^2 = 0

D. y`` + 3y` + 2 = 0

7. Cho ma trận A = [[1, 2], [2, 4]]. Định thức của ma trận A là:

A. 0

B. 2

C. 4

D. 8

8. Xét hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:

A. det(A) = 0

B. det(A) ≠ 0

C. rank(A) < rank([A|b])

D. rank(A) < số ẩn

9. Hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy có bao nhiêu điểm cực trị địa phương?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

10. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x - y + 3z = 5 là:

A. (2, -1, 3)

B. (2, 1, 3)

C. (2, -1, -3)

D. (1, -1/2, 3/2)

11. Cho tích phân bội hai ∫∫_D (x^2 + y^2) dA, với D là hình tròn x^2 + y^2 ≤ R^2. Giá trị của tích phân này là:

A. πR^4 / 2

B. πR^4

C. 2πR^4

D. πR^3 / 2

12. Cho hàm số f(x, y) = ln(x^2 + y^2). Miền xác định của hàm số là:

A. R^2

B. R^2 {(0, 0)}

C. x^2 + y^2 > 0

D. Cả 2 và 3

13. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp f_xy và f_yx của hàm số f(x, y) liên tục tại điểm (x0, y0). Phát biểu nào sau đây luôn đúng?

A. f_xy(x0, y0) > f_yx(x0, y0)

B. f_xy(x0, y0) < f_yx(x0, y0)

C. f_xy(x0, y0) = f_yx(x0, y0)

D. Không có mối quan hệ xác định giữa f_xy(x0, y0) và f_yx(x0, y0)

14. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1/n^p) hội tụ khi và chỉ khi:

A. p ≤ 1

B. p < 1

C. p = 1

D. p > 1

15. Giá trị của tích phân suy rộng ∫_0^∞ e^(-x) dx là:

A. 0

B. 1

C. e

D. ∞

16. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Gradient của hàm số tại điểm (1, 0) là:

A. (2e, 0)

B. (e, 0)

C. (0, 2e)

D. (0, e)

17. Chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x^n / n!) có bán kính hội tụ là:

A. 0

B. 1

C. e

D. ∞

18. Cho hàm số f(x, y) = xy / (x^2 + y^2) khi (x, y) ≠ (0, 0) và f(0, 0) = 0. Hàm số f(x, y) có liên tục tại (0, 0) không?

A. Liên tục

B. Không liên tục

C. Liên tục theo x nhưng không liên tục theo y

D. Liên tục theo y nhưng không liên tục theo x

19. Tích phân bất định ∫ x*cos(x) dx bằng:

A. x*sin(x) + cos(x) + C

B. x*sin(x) - cos(x) + C

C. x*cos(x) + sin(x) + C

D. x*cos(x) - sin(x) + C

20. Trong phép tính tích phân bội ba, Jacobian của phép đổi biến từ tọa độ Descartes (x, y, z) sang tọa độ cầu (ρ, θ, φ) là:

A. ρ

B. ρ^2

C. ρ^2 sin(φ)

D. ρ sin(φ)

21. Cho phương trình vi phân y` + y = e^(-x). Nghiệm tổng quát của phương trình là:

A. y = xe^(-x) + C

B. y = e^(-x) + C

C. y = Ce^(-x)

D. y = xe^(x) + C

22. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:

A. (0, 0) và (1, 1)

B. (0, 0) và (-1, -1)

C. (1, 0) và (0, 1)

D. Không có điểm dừng

23. Dạng toàn phương Q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2 là:

A. Xác định dương

B. Xác định âm

C. Nửa xác định dương

D. Không xác định

24. Trong không gian R^3, phương trình x^2 + y^2 - 2z^2 = 1 biểu diễn mặt:

A. Mặt paraboloid elliptic

B. Mặt hyperboloid một tầng

C. Mặt hyperboloid hai tầng

D. Mặt nón

25. Trong không gian R^3, khoảng cách từ điểm M(1, 2, 3) đến mặt phẳng Oxy là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. √(14)

26. Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả nghịch là:

A. det(A) = 0

B. det(A) ≠ 0

C. rank(A) < n (với n là cấp của ma trận)

D. Các cột của A phụ thuộc tuyến tính

27. Trong không gian R^3, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1, 0, -1) và có vectơ chỉ phương v = (2, -1, 3) là:

A. x = 1 + 2t, y = -t, z = -1 + 3t

B. x = 1 - 2t, y = t, z = -1 - 3t

C. x = 2 + t, y = -1, z = 3 - t

D. x = 1 + t, y = -2t, z = -1 + 3t

28. Trong không gian R^2, phép biến đổi tuyến tính T(x, y) = (2x + y, x - y) được biểu diễn bằng ma trận nào?

A. [[2, 1], [1, -1]]

B. [[2, -1], [1, 1]]

C. [[1, 2], [-1, 1]]

D. [[-1, 1], [2, 1]]

29. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vectơ u = (1, 0, 0) và v = (0, 1, 0) là:

A. (1, 1, 0)

B. (0, 0, 1)

C. (0, 0, -1)

D. Không xác định

30. Trong không gian vectơ R^3, xét tập hợp S = {(x, y, z) | x + y + z = 0}. S là:

A. Không phải là không gian vectơ con của R^3

B. Không gian vectơ con của R^3 với số chiều là 3

C. Không gian vectơ con của R^3 với số chiều là 2

D. Không gian vectơ con của R^3 với số chiều là 1