Đề 15 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Đại số tuyến tính

1. Trong không gian R^2, phép quay quanh gốc tọa độ một góc θ là một phép biến đổi tuyến tính. Ma trận biểu diễn của phép quay này là:

A. [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]

B. [[cos(θ), sin(θ)], [-sin(θ), cos(θ)]]

C. [[sin(θ), cos(θ)], [cos(θ), -sin(θ)]]

D. [[sin(θ), -cos(θ)], [cos(θ), sin(θ)]]

2. Phương pháp khử Gauss thường được sử dụng để:

A. Tính định thức của ma trận.

B. Tìm giá trị riêng của ma trận.

C. Giải hệ phương trình tuyến tính.

D. Phân tích ma trận thành tích các ma trận tam giác.

3. Trong không gian vectơ R^3, tập hợp nào sau đây là một không gian con?

A. {(x, y, z) | x + y + z = 1}

B. {(x, y, z) | x = 2y}

C. {(x, y, z) | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}

D. {(x, y, z) | x^2 + y^2 + z^2 = 1}

4. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, với A là ma trận vuông cấp n. Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi:

A. det(A) ≠ 0.

B. rank(A) = n.

C. rank(A) < n.

D. A là ma trận đơn vị.

5. Cho hai vectơ u và v trong không gian vectơ. Phát biểu nào sau đây SAI?

A. u + v = v + u.

B. (u + v) + w = u + (v + w).

C. Tồn tại vectơ 0 sao cho u + 0 = u.

D. Tồn tại vectơ -u sao cho u - u = u.

6. Hai vectơ u và v được gọi là trực giao nếu:

A. Chúng cùng phương.

B. Tích vô hướng của chúng bằng 0.

C. Tổng của chúng bằng vectơ không.

D. Hiệu của chúng bằng vectơ không.

7. Ma trận đơn vị (ma trận đồng nhất) là ma trận:

A. Có tất cả các phần tử bằng 1.

B. Có tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử khác bằng 0.

C. Có tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 và các phần tử khác bằng 1.

D. Có định thức bằng 0.

8. Cơ sở của không gian vectơ là:

A. Một tập sinh của không gian vectơ.

B. Một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính.

C. Một tập sinh độc lập tuyến tính của không gian vectơ.

D. Một tập hợp chứa vectơ không.

9. Cho ma trận A vuông. Điều kiện nào sau đây KHÔNG tương đương với việc A khả nghịch?

A. det(A) ≠ 0.

B. Hệ AX = 0 chỉ có nghiệm tầm thường.

C. Hạng của A bằng cấp của ma trận.

D. Tất cả các giá trị riêng của A đều bằng 0.

10. Phép biến đổi tuyến tính T: R^2 → R^2 được cho bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:

A. [[2, 1], [1, -1]]

B. [[2, 1], [-1, 1]]

C. [[1, 2], [-1, 1]]

D. [[1, 2], [1, -1]]

11. Cho ma trận A và B cùng cấp. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

A. (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2.

B. (A + B)^T = A^T + B^T.

C. (AB)^T = A^T B^T.

D. det(A + B) = det(A) + det(B).

12. Giá trị riêng của ma trận là gì?

A. Một vectơ không-không sao cho Av = λv với một số vô hướng v.

B. Một số vô hướng λ sao cho Av = λv có nghiệm v khác vectơ không.

C. Định thức của ma trận.

D. Hạng của ma trận.

13. Ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi:

A. Định thức của nó bằng 0.

B. Các hàng của nó phụ thuộc tuyến tính.

C. Các cột của nó độc lập tuyến tính.

D. Nó là ma trận đường chéo.

14. Hạng của ma trận là:

A. Số lượng hàng của ma trận.

B. Số lượng cột của ma trận.

C. Số chiều của không gian hàng (hoặc không gian cột) của ma trận.

D. Định thức của ma trận.

15. Cho ma trận A khả nghịch. Ma trận nghịch đảo của ma trận nghịch đảo (A^(-1))^(-1) bằng:

A. A^(-1).

B. A.

C. Ma trận đơn vị I.

D. Ma trận không.

16. Vectơ riêng của ma trận vuông A là vectơ:

A. Không thay đổi hướng khi nhân với A.

B. Có độ dài bằng 1.

C. Luôn trực giao với mọi vectơ khác.

D. Luôn là vectơ đơn vị.

17. Cho phép biến đổi tuyến tính T: V → W. Phát biểu nào sau đây về hạt nhân (ker(T)) và ảnh (im(T)) của T là đúng?

A. ker(T) là không gian con của W và im(T) là không gian con của V.

B. ker(T) là không gian con của V và im(T) là không gian con của W.

C. Cả ker(T) và im(T) đều là không gian con của V.

D. Cả ker(T) và im(T) đều là không gian con của W.

18. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 còn được gọi là:

A. Không gian cột của A.

B. Không gian hàng của A.

C. Không gian hạt nhân (kernel) hay không gian vô hiệu (null space) của A.

D. Không gian ảnh (image) hay không gian giá trị (range) của A.

19. Cho ma trận vuông A. Khi nhân một hàng của A với một số c, định thức của ma trận mới sẽ:

A. Không đổi.

B. Nhân với c.

C. Chia cho c.

D. Nhân với c^2.

20. Không gian con sinh bởi một tập hợp các vectơ là:

A. Tập hợp giao của tất cả các không gian con chứa tập hợp đó.

B. Tập hợp hợp của tất cả các không gian con chứa tập hợp đó.

C. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong tập hợp đó.

D. Tập hợp các vectơ trực giao với tập hợp đó.

21. Trong không gian vectơ Euclide R^3, tích vô hướng của hai vectơ u = (u1, u2, u3) và v = (v1, v2, v3) được tính như thế nào?

A. ||u|| * ||v||.

B. (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3).

C. u1*v1 + u2*v2 + u3*v3.

D. (u1*v1, u2*v2, u3*v3).

22. Số chiều của không gian vectơ là:

A. Số lượng vectơ trong không gian vectơ.

B. Số lượng vectơ độc lập tuyến tính tối đa trong không gian vectơ.

C. Số lượng tập sinh của không gian vectơ.

D. Số lượng không gian con của không gian vectơ.

23. Điều gì xảy ra với các giá trị riêng của ma trận A khi ta thực hiện phép biến đổi đồng dạng P^(-1)AP?

A. Các giá trị riêng thay đổi.

B. Các giá trị riêng không thay đổi.

C. Các giá trị riêng trở thành nghịch đảo.

D. Các giá trị riêng trở thành đối.

24. Cho hai ma trận vuông A và B cùng cấp. Định thức của tích AB bằng:

A. det(A) + det(B).

B. det(A) - det(B).

C. det(A) * det(B).

D. det(A) / det(B).

25. Ma trận đường chéo là ma trận:

A. Có tất cả các phần tử khác 0.

B. Có tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng 1.

C. Có tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0.

D. Có tất cả các phần tử bằng 0.

26. Phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận KHÔNG bao gồm phép nào sau đây?

A. Hoán đổi hai hàng.

B. Nhân một hàng với một số khác 0.

C. Cộng một bội của một hàng vào hàng khác.

D. Chuyển vị ma trận.

27. Phép chiếu trực giao của vectơ v lên không gian con W là gì?

A. Vectơ vuông góc với v.

B. Vectơ thuộc W gần v nhất.

C. Vectơ có độ dài bằng v.

D. Vectơ đối của v.

28. Định thức của ma trận chuyển vị (A^T) so với định thức của ma trận ban đầu (A) thì như thế nào?

A. det(A^T) = -det(A).

B. det(A^T) = det(A).

C. det(A^T) = det(A)^T.

D. det(A^T) = 1/det(A).

29. Cho ma trận A vuông cấp n. Đa thức đặc trưng của A được định nghĩa là:

A. det(A - λI).

B. det(A + λI).

C. det(λI - A).

D. tr(A - λI).

30. Ứng dụng của phân tích giá trị сингулярное (SVD) KHÔNG bao gồm:

A. Nén ảnh.

B. Hệ thống gợi ý (recommendation systems).

C. Giải hệ phương trình tuyến tính.

D. Giảm chiều dữ liệu.