1. Ma trận trực giao là ma trận vuông Q có tính chất nào sau đây?
A. Q^T = Q
B. Q^T = -Q
C. Q^T = Q^(-1)
D. det(Q) = 0
2. Phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận KHÔNG bao gồm phép biến đổi nào sau đây?
A. Nhân một hàng với một số khác không.
B. Đổi chỗ hai hàng cho nhau.
C. Cộng vào một hàng một bội của hàng khác.
D. Nhân một cột với một số khác không.
3. Cho dạng toàn phương q(x) = x^2 + 2xy + y^2. Dạng toàn phương này là:
A. Xác định dương.
B. Xác định âm.
C. Bán xác định dương.
D. Bán xác định âm.
4. Trong không gian vectơ R^n, một tập hợp các vectơ được gọi là độc lập tuyến tính nếu:
A. Tồn tại một tổ hợp tuyến tính khác không của các vectơ bằng vectơ không.
B. Mọi tổ hợp tuyến tính của các vectơ bằng vectơ không chỉ khi tất cả các hệ số đều bằng không.
C. Số lượng vectơ lớn hơn chiều của không gian.
D. Các vectơ đôi một vuông góc.
5. Không gian con sinh bởi một tập hợp các vectơ S trong không gian vectơ V là:
A. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong S.
B. Tập hợp các vectơ trong S.
C. Không gian vectơ V.
D. Tập hợp các vectơ vuông góc với S.
6. Chuẩn của vectơ (norm) đo lường điều gì?
A. Hướng của vectơ.
B. Độ dài hoặc độ lớn của vectơ.
C. Số chiều của không gian vectơ.
D. Tích vô hướng của vectơ với chính nó.
7. Cho hai ma trận A và B vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây KHÔNG đúng?
A. det(AB) = det(A)det(B)
B. det(A + B) = det(A) + det(B)
C. det(kA) = k^n det(A) với k là hằng số
D. det(A^T) = det(A)
8. Cho ánh xạ tuyến tính f: R^2 -> R^2 được xác định bởi f(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của f đối với cơ sở chính tắc của R^2 là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[-1, 1], [2, 1]]
9. Một ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu:
A. det(A) = 0
B. Tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = I, với I là ma trận đơn vị.
C. Tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều khác 0.
D. Tất cả các giá trị riêng đều bằng 0.
10. Ứng dụng của phân tích giá trị suy biến (SVD) KHÔNG bao gồm:
A. Nén dữ liệu.
B. Giảm nhiễu trong xử lý ảnh.
C. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer.
D. Hệ thống gợi ý (Recommendation systems).
11. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = b. Hệ phương trình này vô nghiệm khi nào?
A. rank(A) = rank([A|b])
B. rank(A) < rank([A|b])
C. det(A) = 0
D. det(A) ≠ 0
12. Cho ma trận A vuông cấp n. Định thức của ma trận chuyển vị của A, ký hiệu det(A^T), bằng:
A. det(A)
B. -det(A)
C. det(A)^T
D. 1/det(A)
13. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Một vectơ v khác vectơ không sao cho Av = λv với λ là một số vô hướng.
B. Một số vô hướng λ sao cho tồn tại vectơ v khác vectơ không thỏa mãn Av = λv.
C. Định thức của ma trận A.
D. Hạng của ma trận A.
14. Trong không gian vectơ R^3, cho hai vectơ u = (1, 2, 3) và v = (4, 5, 6). Tích có hướng của u và v, ký hiệu u x v, là một vectơ:
A. Cùng phương với u
B. Cùng phương với v
C. Vuông góc với cả u và v
D. Nằm trong mặt phẳng chứa u và v
15. Trong không gian vectơ R^3, tích vô hướng của hai vectơ u = (a1, a2, a3) và v = (b1, b2, b3) được tính bằng:
A. (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
B. (a1b1, a2b2, a3b3)
C. a1b1 + a2b2 + a3b3
D. √(a1^2 + a2^2 + a3^2)√(b1^2 + b2^2 + b3^2)
16. Trong thuật toán Gram-Schmidt, mục đích chính là gì?
A. Tìm định thức của ma trận.
B. Chuyển đổi một cơ sở bất kỳ thành một cơ sở trực giao hoặc trực chuẩn.
C. Giải hệ phương trình tuyến tính.
D. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận.
17. Trong phân tích LU của ma trận A, ma trận L là ma trận:
A. Ma trận tam giác trên.
B. Ma trận tam giác dưới.
C. Ma trận đường chéo.
D. Ma trận đơn vị.
18. Trong không gian vectơ định chuẩn, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu rằng cho hai vectơ u và v, |u.v| ≤ ||u|| ||v||. Dấu bằng xảy ra khi nào?
A. Khi u và v vuông góc.
B. Khi u và v cùng phương.
C. Khi một trong hai vectơ u hoặc v là vectơ không.
D. Khi cả hai vectơ u và v là vectơ đơn vị.
19. Cho ánh xạ tuyến tính T: R^n -> R^m. Định lý hạng-vô hiệu (Rank-Nullity Theorem) phát biểu rằng:
A. dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = m
B. dim(ker(T)) - dim(Im(T)) = n
C. dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = n
D. dim(ker(T)) * dim(Im(T)) = n*m
20. Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, trong đó A là ma trận vuông cấp n. Hệ phương trình này có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi:
A. det(A) ≠ 0
B. det(A) = 0
C. rank(A) = n
D. rank(A) < n
21. Không gian hạt nhân (kernel) của ánh xạ tuyến tính T: V -> W, ký hiệu ker(T), là:
A. Tập hợp tất cả các vectơ w thuộc W sao cho tồn tại v thuộc V với T(v) = w.
B. Tập hợp tất cả các vectơ v thuộc V sao cho T(v) = 0.
C. Không gian vectơ W.
D. Ảnh của không gian vectơ V qua ánh xạ T.
22. Cho ma trận A vuông cấp n. Đa thức đặc trưng của ma trận A là:
A. det(A - λI), với I là ma trận đơn vị và λ là biến số.
B. det(A)
C. trace(A)
D. rank(A)
23. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 là:
A. Một vectơ.
B. Một tập hợp rỗng hoặc một không gian con của không gian vectơ đang xét.
C. Luôn là toàn bộ không gian vectơ đang xét.
D. Một đường thẳng.
24. Cho ma trận vuông A cấp n. Nếu A khả đồng dạng với ma trận đường chéo D, thì các cột của ma trận P trong phép đồng dạng P^(-1)AP = D là:
A. Các vectơ cột của ma trận A.
B. Các vectơ riêng của ma trận A.
C. Các vectơ cơ sở của không gian R^n.
D. Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng.
25. Điều kiện nào sau đây KHÔNG phải là điều kiện để một tập hợp con H của không gian vectơ V là không gian con của V?
A. H chứa vectơ không của V.
B. H đóng kín đối với phép cộng vectơ.
C. H đóng kín đối với phép nhân với một số vô hướng.
D. H phải là tập hợp hữu hạn vectơ.
26. Vectơ riêng của ma trận vuông A là vectơ khác vectơ không v sao cho Av = λv. Giá trị λ được gọi là:
A. Vectơ riêng ứng với v
B. Giá trị riêng ứng với v
C. Không gian riêng ứng với v
D. Hạng của ma trận
27. Phép biến đổi tuyến tính T: V -> W được gọi là đơn ánh (injective) nếu:
A. Với mọi w thuộc W, tồn tại ít nhất một v thuộc V sao cho T(v) = w.
B. Với mọi w thuộc W, tồn tại nhiều nhất một v thuộc V sao cho T(v) = w.
C. Với mọi w thuộc W, tồn tại duy nhất một v thuộc V sao cho T(v) = w.
D. T(v) = 0 khi và chỉ khi v = 0.
28. Hạng của ma trận là gì?
A. Số chiều của không gian cột (hoặc không gian hàng) của ma trận.
B. Định thức của ma trận.
C. Số lượng hàng của ma trận.
D. Tích của các giá trị riêng của ma trận.
29. Ma trận nghịch đảo của ma trận A vuông cấp n tồn tại khi và chỉ khi:
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. rank(A) < n
D. A là ma trận đường chéo
30. Phép chiếu vuông góc từ vectơ v lên không gian con W được ký hiệu là proj_W(v). Vectơ proj_W(v) là vectơ:
A. Thuộc không gian con W và vuông góc với v.
B. Thuộc không gian con W và v - proj_W(v) vuông góc với W.
C. Vuông góc với không gian con W và có độ dài bằng độ dài của v.
D. Song song với v và thuộc không gian con W.
