1. Định lý Green liên hệ tích phân đường trên đường cong kín C với tích phân nào trên miền D giới hạn bởi C?
A. Tích phân đường loại 1
B. Tích phân đường loại 2
C. Tích phân bội hai
D. Tích phân bội ba
2. Định lý Stokes liên hệ tích phân đường loại 2 trên đường cong kín C với tích phân nào trên mặt S có biên là C?
A. Tích phân đường loại 1
B. Tích phân bội hai
C. Tích phân mặt loại 1
D. Tích phân mặt loại 2
3. Cho hàm số f(x, y) = eˣ^² ⁺ ʸ^². Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0)
B. (1, 0)
C. (0, 1)
D. (1, 1)
4. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt cầu?
A. x² + y² - z² = 1
B. x² + y² + z = 1
C. x² + y² + z² = 1
D. x + y + z = 1
5. Tính curl của trường vector F(x, y, z) = (yz, xz, xy).
A. (x, y, z)
B. (0, 0, 0)
C. (y-z, x-z, x-y)
D. (0, 0, 1)
6. Tích phân ∫_0⁺∞ e⁻ˣ dx bằng:
7. Chuỗi Fourier của hàm số f(x) = x trên đoạn [-π, π] là chuỗi:
A. Chuỗi sin
B. Chuỗi cosin
C. Chuỗi hỗn hợp sin và cosin
D. Hằng số
8. Cho chuỗi hàm số ∑_(n=1)^∞ (xⁿ)∕n!. Miền hội tụ của chuỗi này là:
A. (-1, 1)
B. [-1, 1]
C. (-∞, +∞)
D. [0, +∞)
9. Tính tích phân bội ba ∫∫∫_V dV, với V là khối hộp chữ nhật [0, 1] × [0, 2] × [0, 3].
10. Cho hàm số f(x, y) = x² + y². Đạo hàm riêng cấp hai ∂²f∕∂x∂y bằng:
11. Cho hàm số f(x, y) = xy. Tìm giá trị lớn nhất của f trên miền D = {(x, y) | x² + y² ≤ 1}.
12. Công thức nào sau đây là công thức tính diện tích mặt cong S được tham số bởi r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))?
A. ∫∫_D ||rᵤ × rᵥ|| du dv
B. ∫∫_D ||rᵤ + rᵥ|| du dv
C. ∫∫_D (||rᵤ|| + ||rᵥ||) du dv
D. ∫∫_D ||rᵤ|| ||rᵥ|| du dv
13. Trong các trường vector sau, trường vector nào là trường thế?
A. F(x, y) = (y, x)
B. F(x, y) = (y, -x)
C. F(x, y) = (x, -y)
D. F(x, y) = (-y, x)
14. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ tích phân mặt loại 2 trên mặt kín S với tích phân nào trên miền V giới hạn bởi S?
A. Tích phân đường loại 2
B. Tích phân bội hai
C. Tích phân bội ba
D. Tích phân mặt loại 1
15. Cho hàm số f(x, y) khả vi. Gradient của f tại một điểm cho ta thông tin gì về hàm số?
A. Hướng giảm nhanh nhất của hàm số
B. Hướng không đổi của hàm số
C. Hướng tăng nhanh nhất của hàm số
D. Hướng vuông góc với đường mức
16. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1) và f(x, y) = x + y, được tính bằng công thức nào?
A. ∫_0¹ (2t) dt
B. ∫_0¹ (t + t) √2 dt
C. ∫_0¹ (t + t) dt
D. ∫_0¹ (2t) √2 dt
17. Trong không gian Oxyz, mặt trụ elliptic có phương trình dạng:
A. x²∕a² + y²∕b² = 1
B. x²∕a² - y²∕b² = 1
C. x²∕a² + y²∕b² + z²∕c² = 1
D. z = x²∕a² + y²∕b²
18. Phương trình Laplace ∂²u∕∂x² + ∂²u∕∂y² = 0 là một ví dụ của phương trình đạo hàm riêng loại:
A. Parabol
B. Hyperbol
C. Elliptic
D. Tuyến tính cấp một
19. Cho trường vector F(x, y, z) = (x, y, z). Tính divergence của trường vector này tại điểm (1, 2, 3).
20. Cho chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ cₙ (x - a)ⁿ. Nếu chuỗi hội tụ tại x = b (b ≠ a), thì chuỗi:
A. Hội tụ tuyệt đối với mọi |x - a| < |b - a|
B. Hội tụ điều kiện với mọi |x - a| < |b - a|
C. Phân kỳ với mọi |x - a| > |b - a|
D. Hội tụ với mọi x
21. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây vuông góc với trục Oz?
A. Mặt phẳng (Oxy)
B. Mặt phẳng (Oxz)
C. Mặt phẳng (Oyz)
D. Mặt phẳng x + y + z = 0
22. Tích phân đường loại 2 ∫_C P dx + Q dy, phụ thuộc vào:
A. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C
B. Hình dạng đường cong C
C. Tham số hóa của đường cong C
D. Hướng của đường cong C
23. Cho hàm số f(x, y) = x² + y². Đạo hàm theo hướng của vector v = (1, 1) tại điểm (1, 2) là:
A. 6∕√2
B. 3∕√2
C. 9∕√2
D. 12∕√2
24. Hàm số f(x, y) = ln(x² + y²) có liên tục tại điểm (0, 0) không?
A. Liên tục
B. Không liên tục
C. Liên tục nhưng không khả vi
D. Khả vi
25. Trong các chuỗi số sau, chuỗi nào hội tụ?
A. ∑_(n=1)^∞ 1∕n
B. ∑_(n=1)^∞ (-1)ⁿ
C. ∑_(n=1)^∞ 1∕n²
D. ∑_(n=1)^∞ n
26. Điều kiện cần để chuỗi số ∑ aₙ hội tụ là:
A. limₙ→∞ aₙ = 0
B. ∑ |aₙ| hội tụ
C. aₙ > 0 với mọi n
D. aₙ giảm
27. Tính tích phân bội hai ∫∫_D (x + y) dA, với D là miền giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 1.
A. 1∕2
B. 1∕3
C. 1∕4
D. 1∕6
28. Miền hội tụ của chuỗi Fourier của một hàm số tuần hoàn f(x) phụ thuộc vào:
A. Tính chẵn lẻ của f(x)
B. Tính tuần hoàn của f(x)
C. Tính khả tích của f(x)
D. Tính chất liên tục và khả vi từng khúc của f(x)
29. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong r = f(θ) trong tọa độ cực, ta sử dụng công thức:
A. ∫_αᵝ f(θ) dθ
B. ∫_αᵝ [f(θ)]² dθ
C. (1∕2) ∫_αᵝ [f(θ)]² dθ
D. (1∕2) ∫_αᵝ f(θ) dθ
30. Đường cong C được tham số bởi r(t) = (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2π. Hình chiếu của C xuống mặt phẳng Oxy là:
A. Đường tròn
B. Đường xoắn ốc
C. Đoạn thẳng
D. Điểm
