Đề 2 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Toán cao cấp

Nếu một chuỗi lũy thừa hội tụ tại x = x₀, thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x sao cho |x - c| < |x₀ - c|. Đây là tính chất cơ bản của bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Đáp án 2 phản ánh tính chất này.

Tích phân đường loại hai ∫_C P dx + Q dy phụ thuộc vào đường cong C, bao gồm cả hình dạng và hướng đi trên đường cong. Hướng đi xác định dấu của tích phân, và hình dạng đường cong ảnh hưởng đến giá trị tích phân.

Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt u = x² + x, suy ra du = (2x + 1) dx. Khi đó, tích phân trở thành ∫eᵘ du = eᵘ + C = eˣ^² ⁺ ˣ + C.

Tích có hướng (cross product) của hai vectơ u và v trong R³ là một vectơ trực giao (vuông góc) với cả u và v. Hướng của tích có hướng được xác định bởi quy tắc bàn tay phải.

Định nghĩa hàm số liên tục đều trên khoảng I là: với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y thuộc I, nếu khoảng cách giữa x và y nhỏ hơn δ (|x - y| < δ), thì khoảng cách giữa f(x) và f(y) nhỏ hơn ε (|f(x) - f(y)| < ε). δ chỉ phụ thuộc vào ε, không phụ thuộc vào vị trí x, y trong khoảng I.

Giá trị riêng (eigenvalue) λ của ma trận vuông A được định nghĩa là nghiệm của phương trình đặc trưng det(A - λI) = 0, trong đó I là ma trận đơn vị. Đáp án 3 phản ánh chính xác định nghĩa này.

Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) được định nghĩa bởi tích phân F(s) = ∫_0^∞ f(t)e⁻ˢᵗ dt, với điều kiện tích phân này hội tụ.

Đây là chuỗi p (chuỗi điều hòa tổng quát). Chuỗi p ∑ (1∕nᵅ) hội tụ khi và chỉ khi α > 1. Đây là một kết quả cơ bản trong lý thuyết chuỗi số.

Vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) được định nghĩa là df = (∂f∕∂x) dx + (∂f∕∂y) dy. Với f(x, y) = xy, ta có ∂f∕∂x = y và ∂f∕∂y = x. Vậy df = y dx + x dy.

Phương trình x² + y² - z² = 1 là phương trình của một mặt hyperboloid một tầng. Dấu trừ trước z² và dấu cộng trước x², y², cùng với vế phải bằng 1, xác định đây là hyperboloid một tầng dọc theo trục z.

Môđun của số phức z = x + iy được định nghĩa là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức, và được tính bằng công thức |z| = √(x² + y²).

Nếu A là ma trận vuông cấp n và c là một hằng số, thì det(cA) = cⁿ det(A). Trong trường hợp này, c = 2, nên det(2A) = 2ⁿ det(A) = 5 × 2ⁿ.

Cơ sở trực giao của một không gian vectơ là một cơ sở mà trong đó tất cả các vectơ đôi một trực giao với nhau. Tức là tích vô hướng của bất kỳ hai vectơ khác nhau trong cơ sở bằng 0.

Định lý Green (trong mặt phẳng) thiết lập mối liên hệ giữa tích phân đường dọc theo một đường cong kín C trong mặt phẳng và tích phân bội hai trên miền D được bao bởi đường cong C đó.

Điểm dừng (hoặc điểm tới hạn) của một hàm số f(x) là điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất của hàm số bằng 0, tức là f′(x) = 0. Tại các điểm dừng, hàm số có thể đạt cực trị địa phương hoặc điểm uốn.

Divergence của một trường vectơ F tại một điểm đo lường mật độ nguồn hoặc hố của trường vectơ tại điểm đó. Divergence dương chỉ ra nguồn, divergence âm chỉ ra hố, và divergence bằng 0 chỉ ra trường không nguồn không hố (solenoidal).

Đạo hàm riêng của f(x, y) theo x là ∂f∕∂x = 3x²y² + cos(x). Thay x = 0 và y = π vào, ta được ∂f∕∂x (0, π) = 3(0)²(π)² + cos(0) = 0 + 1 = 1. Tuy nhiên, đáp án này không trực tiếp xuất hiện trong các lựa chọn. Xem xét lại biểu thức đạo hàm riêng và các lựa chọn, có vẻ có sự nhầm lẫn trong việc trình bày đáp án. Nếu thay x=0 vào biểu thức đạo hàm riêng trước khi thay y, ta có 3(0)²y² + cos(0) = 1. Nhưng nếu thay x=0, y=π vào biểu thức *đạo hàm riêng theo x*, ta được 3(0)²(π)² + cos(0) = 1. Không có đáp án nào trực tiếp là 1. Xem xét lại các lựa chọn, có vẻ có sự thiếu chính xác trong các đáp án được đưa ra hoặc có lỗi đánh máy. Tuy nhiên, nếu xem xét `π² + 1′, có thể đây là một lỗi đánh máy, và đáp án đúng lẽ ra phải liên quan đến cos(0)=1. Trong các lựa chọn, `π² + 1′ có phần `+1′ có thể là từ cos(0), trong khi `3π²′ và `3x²y² + cos(x)′, `3x²y² + y²cos(x)′ không đúng khi x=0. Do đó, chọn `π² + 1′ có vẻ là lựa chọn gần đúng nhất trong bối cảnh các đáp án bị lỗi, mặc dù nó không trực tiếp phản ánh giá trị đạo hàm riêng chính xác (là 1). **CẦN CHÚ Ý: Câu hỏi này có vấn đề về đáp án, không có đáp án chính xác là 1 trong các lựa chọn. `π² + 1′ là lựa chọn *ít sai lệch nhất* nếu phải chọn⋅* Tuy nhiên, theo yêu cầu *chính xác tuyệt đối*, câu hỏi này nên được sửa đổi hoặc loại bỏ vì không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho. Để tuân thủ yêu cầu, giả sử `π² + 1′ là đáp án *gần đúng nhất* do lỗi soạn thảo, ta chọn đáp án 4.

Sử dụng khai triển Taylor của sin(x) quanh x = 0: sin(x) = x - x³∕3! + x⁵∕5! - … . Khi đó, (sin(x) - x) ∕ x³ = (-x³∕3! + x⁵∕5! - …) ∕ x³ = -1∕3! + x²∕5! - … . Khi x → 0, giới hạn này tiến tới -1∕3! = -1∕6.

Phép toán gradient (grad) tác động lên một trường vô hướng (hàm số vô hướng) và tạo ra một trường vectơ. Trường vectơ này chỉ hướng và độ lớn của sự thay đổi lớn nhất của trường vô hướng tại mỗi điểm.

Tích phân suy rộng ∫_1^∞ (1∕xᵖ) dx hội tụ khi và chỉ khi p > 1. Đây là một kết quả cơ bản về tích phân suy rộng loại 1, liên quan đến chuỗi p và tích phân p.

Phép biến đổi Fourier ngược (Inverse Fourier Transform) thực hiện phép biến đổi ngược lại so với phép biến đổi Fourier, tức là chuyển đổi từ miền tần số (biểu diễn hàm số theo tần số) về miền thời gian (biểu diễn hàm số theo thời gian).

Theo định lý Cauchy–Goursat trong giải tích phức, nếu f(z) là hàm giải tích trên một miền đơn liên D, thì tích phân đường cong kín của f(z) dọc theo bất kỳ đường cong kín C nằm trong D luôn bằng 0. Đây là một định lý quan trọng trong giải tích phức.

Đạo hàm cấp nhất f′(x) = 2x ∕ (x² + 1). Đạo hàm cấp hai f′`(x) = [(2)(x² + 1) - (2x)(2x)] ∕ (x² + 1)² = (2x² + 2 - 4x²) ∕ (x² + 1)² = (2 - 2x²) ∕ (x² + 1)².

Phương trình đặc trưng là r² + 2r + 1 = 0, có nghiệm kép r = -1. Khi nghiệm đặc trưng là nghiệm kép r, nghiệm tổng quát có dạng y = C1eʳˣ + C2xeʳˣ. Trong trường hợp này, r = -1, nên nghiệm tổng quát là y = C1e⁻ˣ + C2xe⁻ˣ.

Phương trình Laplace là một phương trình đạo hàm riêng bậc hai, được định nghĩa là ∇^2 f = 0, trong đó ∇^2 là toán tử Laplace. Trong tọa độ Descartes, toán tử Laplace được biểu diễn là ∇^2 f = ∂^2f∕∂x² + ∂^2f∕∂y² + ∂^2f∕∂z². Vậy phương trình Laplace là ∂^2f∕∂x² + ∂^2f∕∂y² + ∂^2f∕∂z² = 0.

Định nghĩa ma trận khả nghịch là ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo B, thỏa mãn AB = BA = I, trong đó I là ma trận đơn vị. Đáp án 3 chính xác theo định nghĩa.

Phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất không thuần nhất y′ - 2y = e²ˣ. Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng y′ - 2y = 0 là yₕ = Ce²ˣ. Vì vế phải e²ˣ có dạng nghiệm của phương trình thuần nhất, nên ta chọn nghiệm riêng có dạng yₚ = Axe²ˣ. Thay yₚ vào phương trình ban đầu để tìm A.

Tập sinh của một không gian vectơ V là tập hợp các vectơ sao cho mọi vectơ trong V đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong tập sinh đó. Đáp án 4 phản ánh đúng định nghĩa này.

Toán tử Laplace của hàm số vô hướng f(x, y) được định nghĩa là div(grad f) = ∇ · (∇f) = ∇^2 f = ∂^2f∕∂x² + ∂^2f∕∂y². Đáp án 2 chính xác là biểu thức toán tử Laplace trong tọa độ Descartes 2D.

Một trường vectơ F = (P, Q) trong miền liên thông đơn là trường bảo toàn (conservative vector field) khi và chỉ khi ∂P∕∂y = ∂Q∕∂x. Điều kiện này đảm bảo rằng trường vectơ có thế vị.