1. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
2. Hạng của ma trận là:
A. Số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tương ứng
B. Số chiều của không gian hàng (hoặc cột) của ma trận
C. Tổng số hàng và cột của ma trận
D. Định thức của ma trận
3. Ma trận khả nghịch (ma trận không suy biến) là ma trận vuông có:
A. Định thức bằng 0
B. Định thức khác 0
C. Tất cả các phần tử bằng 0
D. Tất cả các phần tử khác 0
4. Trong không gian vectơ R^3, tích có hướng của hai vectơ u = (1, 0, 0) và v = (0, 1, 0) là:
A. (0, 0, 1)
B. (0, 0, -1)
C. (1, 1, 0)
D. (0, 1, 1)
5. Trong không gian R^3, phương trình x^2 + y^2 = 1 biểu diễn:
A. Đường tròn
B. Mặt trụ
C. Mặt cầu
D. Mặt phẳng
6. Cho hàm số z = f(x, y). Vi phân toàn phần dz được tính bởi:
A. dz = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
B. dz = (∂f/∂x)dx - (∂f/∂y)dy
C. dz = (∂f/∂y)dx + (∂f/∂x)dy
D. dz = (∂^2f/∂x^2)dx + (∂^2f/∂y^2)dy
7. Tích phân mặt ∫∫_S F · dS tính:
A. Diện tích bề mặt S
B. Thể tích miền giới hạn bởi S
C. Thông lượng (flux) của trường vectơ F qua bề mặt S
D. Công của trường vectơ F dọc theo biên của S
8. Giá trị riêng của ma trận vuông A là:
A. Các giá trị làm cho định thức của (A - λI) bằng 0, với I là ma trận đơn vị
B. Các giá trị làm cho định thức của (A - I) bằng 0
C. Các giá trị trên đường chéo chính của A
D. Tổng các phần tử của A
9. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân đường và tích phân bội hai
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
10. Đường cong mức của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 là:
A. Đường thẳng
B. Đường tròn
C. Parabol
D. Hyperbol
11. Định thức của ma trận đường chéo là:
A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính
B. Tích các phần tử trên đường chéo chính
C. Luôn bằng 0
D. Luôn bằng 1
12. Phương trình đặc trưng của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số hằng số y'' + ay' + by = 0 là:
A. r^2 + ar + b = 0
B. ar^2 + br + 1 = 0
C. r + ar + b = 0
D. r^2 + a + b = 0
13. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y'' - y = e^x có dạng:
A. Ae^x
B. Axe^x
C. Ax^2e^x
D. A + Be^x
14. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y' = 2x là:
A. y = x^2 + C
B. y = 2x^2 + C
C. y = x^2
D. y = 2x + C
15. Chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^(∞) c_n (x - a)^n hội tụ tại x = x_0 thì:
A. Hội tụ tại mọi x
B. Hội tụ tại mọi x sao cho |x - a| < |x_0 - a|
C. Hội tụ tại mọi x sao cho |x - a| ≤ |x_0 - a|
D. Hội tụ tại mọi x sao cho |x - a| > |x_0 - a|
16. Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để:
A. Tìm cực trị tự do của hàm nhiều biến
B. Tìm cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến
C. Giải phương trình vi phân
D. Tính tích phân bội
17. Trong không gian vectơ, tổ hợp tuyến tính của các vectơ v1, v2, ..., vk là:
A. Tổng của các vectơ v1, v2, ..., vk
B. Tích của các vectơ v1, v2, ..., vk
C. Biểu thức có dạng c1v1 + c2v2 + ... + ckvk, với c1, c2, ..., ck là các số vô hướng
D. Tập hợp tất cả các vectơ trực giao với v1, v2, ..., vk
18. Điều kiện cần để chuỗi số ∑_(n=1)^(∞) a_n hội tụ là:
A. lim_(n→∞) a_n = 0
B. lim_(n→∞) a_n = 1
C. ∑_(n=1)^(∞) |a_n| hội tụ
D. a_n > 0 với mọi n
19. Cho trường vectơ F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện để trường vectơ F là trườngGradient (trường thế) là:
A. ∂P/∂y = ∂Q/∂x
B. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
C. ∂P/∂x + ∂Q/∂y = 0
D. ∂P/∂y + ∂Q/∂x = 1
20. Tích phân đường loại 2 ∫_C P dx + Q dy phụ thuộc vào:
A. Chỉ điểm đầu và điểm cuối của đường cong C
B. Hình dạng cụ thể của đường cong C và hướng đi trên C
C. Chỉ hướng đi trên đường cong C
D. Không phụ thuộc vào đường cong C
21. Tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA, với D là miền giới hạn bởi y = x^2 và y = x, được thiết lập đúng là:
A. ∫_(0)^(1) ∫_(x^2)^(x) f(x, y) dy dx
B. ∫_(0)^(1) ∫_(x)^(x^2) f(x, y) dy dx
C. ∫_(0)^(1) ∫_(0)^(x) f(x, y) dy dx
D. ∫_(0)^(1) ∫_(0)^(x^2) f(x, y) dy dx
22. Chuỗi số ∑_(n=1)^(∞) 1/n^p hội tụ khi:
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
23. Hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 tại điểm (0, 0) có:
A. Cực đại địa phương
B. Cực tiểu địa phương
C. Điểm yên ngựa
D. Không phải điểm cực trị
24. Ma trận nào sau đây là ma trận vuông?
A. Ma trận có số hàng lớn hơn số cột
B. Ma trận có số cột lớn hơn số hàng
C. Ma trận có số hàng bằng số cột
D. Ma trận có tất cả các phần tử bằng 0
25. Sai phân cấp 1 tiến của hàm số y = f(x) ký hiệu Δy được định nghĩa là:
A. Δy = f(x + h) + f(x)
B. Δy = f(x + h) - f(x)
C. Δy = f(x) - f(x + h)
D. Δy = f(x) * f(x + h)
26. Tích phân ∫_(0)^(1) ∫_(0)^(2) (x + y) dy dx bằng:
27. Tích phân đường cong kín ∫_C F · dr, với C là đường cong kín trong mặt phẳng và F là trường vectơ bảo toàn, bằng:
A. Diện tích miền giới hạn bởi C
B. Chu vi đường cong C
C. 0
D. 1
28. Phép biến đổi Laplace của hàm f(t) = 1 là:
A. 1/s
B. s
C. 1
D. 1/s^2
29. Đạo hàm riêng theo x của hàm số f(x, y) = x^2y + sin(xy) là:
A. 2xy + ycos(xy)
B. 2xy + cos(xy)
C. x^2 + ycos(xy)
D. 2x + ycos(xy)
30. Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Ma trận chuyển vị của A (A^T) là:
A. [[1, 3], [2, 4]]
B. [[2, 1], [4, 3]]
C. [[4, 3], [2, 1]]
D. [[1, 2], [3, 4]]
