1. Vectơ riêng của ma trận vuông A là gì?
A. Một số vô hướng λ sao cho Av = λv, với v là một vectơ khác vectơ không.
B. Một vectơ v khác vectơ không sao cho Av = λv, với λ là một số vô hướng.
C. Vectơ cột của ma trận A.
D. Vectơ hàng của ma trận A.
2. Cho hai vectơ u và v trong không gian vectơ. Khi nào thì u và v được gọi là trực giao?
A. Khi chúng cùng phương.
B. Khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
C. Khi chúng có độ dài bằng nhau.
D. Khi chúng vuông góc với nhau và có độ dài đơn vị.
3. Cho ma trận vuông A cấp n. Định thức của ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là det(AT), bằng:
A. det(A)
B. -det(A)
C. det(A)2
D. 1/det(A)
4. Sai số làm tròn trong tính toán số có thể dẫn đến điều gì trong giải hệ phương trình tuyến tính?
A. Luôn luôn cho nghiệm chính xác.
B. Có thể dẫn đến nghiệm sai lệch đáng kể, đặc biệt với hệ số ma trận có điều kiện xấu.
C. Chỉ ảnh hưởng đến tốc độ tính toán, không ảnh hưởng đến độ chính xác.
D. Chỉ xảy ra khi sử dụng số nguyên, không xảy ra với số thực.
5. Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng nếu:
A. A = -AT
B. A = A-1
C. A = AT
D. AT = -A-1
6. Không gian vectơ con là gì?
A. Một tập hợp các vectơ chứa vectơ không.
B. Một tập hợp con của không gian vectơ, đóng kín đối với phép cộng vectơ và phép nhân với một số vô hướng.
C. Một không gian vectơ lớn hơn chứa không gian vectơ ban đầu.
D. Một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính.
7. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận KHÔNG bao gồm phép biến đổi nào sau đây?
A. Nhân một dòng với một số khác 0.
B. Hoán đổi vị trí hai dòng.
C. Cộng vào một dòng một bội của dòng khác.
D. Nhân tất cả các phần tử của ma trận với một số khác 0.
8. Ma trận vuông A được gọi là ma trận phản đối xứng (hay ma trận lệch đối xứng) nếu:
A. A = AT
B. A = A-1
C. A = -AT
D. AT = A-1
9. Ứng dụng nào sau đây KHÔNG phải là ứng dụng của đại số tuyến tính?
A. Giải các bài toán tối ưu hóa.
B. Xử lý ảnh và tín hiệu.
C. Mô hình hóa và giải các bài toán kinh tế lượng.
D. Chứng minh định lý Fermat lớn.
10. Cho ma trận A vuông cấp n. Tổng các giá trị riêng của A (tính cả bội) bằng:
A. Định thức của A.
B. Vết (trace) của A (tổng các phần tử trên đường chéo chính).
C. Hạng của A.
D. 0.
11. Cho ánh xạ tuyến tính f: V → W. Im(f) (ảnh của f) là gì?
A. Tập hợp tất cả các vectơ v thuộc V sao cho f(v) = 0W.
B. Tập hợp tất cả các vectơ v thuộc V.
C. Tập hợp tất cả các vectơ w thuộc W sao cho tồn tại v thuộc V mà f(v) = w.
D. Không gian vectơ V.
12. Hạng của ma trận (rank) là gì?
A. Số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0.
B. Số cột của ma trận.
C. Số dòng của ma trận.
D. Số chiều lớn nhất của không gian con sinh bởi các vectơ cột (hoặc hàng) của ma trận.
13. Cho ma trận A vuông cấp n. Tích các giá trị riêng của A (tính cả bội) bằng:
A. Vết (trace) của A.
B. Định thức của A.
C. Hạng của A.
D. 1.
14. Phương pháp khử Gauss được sử dụng để:
A. Tính định thức của ma trận.
B. Giải hệ phương trình tuyến tính.
C. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận.
D. Tính hạng của ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính.
15. Chuẩn (norm) của vectơ đo lường điều gì?
A. Hướng của vectơ.
B. Độ dài (hay độ lớn) của vectơ.
C. Tích vô hướng của vectơ với chính nó.
D. Vị trí của vectơ trong không gian.
16. Trong phân tích suy biến giá trị đơn (SVD), ma trận đường chéo Σ chứa các giá trị nào?
A. Giá trị riêng của ma trận ban đầu.
B. Căn bậc hai của giá trị riêng của ATA hoặc AAT.
C. Định thức của ma trận ban đầu.
D. Hạng của ma trận ban đầu.
17. Khi nào một hệ phương trình tuyến tính Ax = b được gọi là hệ Cramer?
A. Khi số phương trình ít hơn số ẩn.
B. Khi ma trận hệ số A là ma trận vuông và định thức của A khác 0.
C. Khi vế phải b là vectơ không.
D. Khi hệ có vô số nghiệm.
18. Cơ sở trực chuẩn là gì?
A. Cơ sở mà các vectơ đôi một trực giao.
B. Cơ sở mà các vectơ có độ dài bằng 1.
C. Cơ sở mà các vectơ đôi một trực giao và có độ dài bằng 1.
D. Cơ sở sinh ra toàn bộ không gian vectơ.
19. Cho ánh xạ tuyến tính f: V → W. Ker(f) (hạt nhân của f) là gì?
A. Tập hợp tất cả các vectơ w thuộc W sao cho tồn tại v thuộc V mà f(v) = w.
B. Tập hợp tất cả các vectơ v thuộc V sao cho f(v) = 0W (vectơ không của W).
C. Không gian vectơ W.
D. Không gian vectơ V.
20. Trong không gian vectơ R3, tập hợp các vectơ nào sau đây là độc lập tuyến tính?
A. {(1, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 1, 0)}
B. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)}
C. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)}
D. {(1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9)}
21. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây KHÔNG đúng về phép nhân ma trận?
A. A(B+C) = AB + AC
B. (A+B)C = AC + BC
C. (AB)C = A(BC)
D. AB = BA
22. Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A khả nghịch là gì?
A. Định thức của A bằng 0.
B. Định thức của A khác 0.
C. Hạng của A nhỏ hơn cấp của ma trận.
D. Tất cả các phần tử của A đều khác 0.
23. Cho không gian vectơ V có cơ sở B = {v1, v2, ..., vn}. Số chiều của V (dim(V)) bằng:
A. Số lượng vectơ trong không gian V.
B. Số lượng vectơ trong cơ sở B.
C. Tổng các tọa độ của các vectơ trong B.
D. Số chiều của không gian con sinh bởi B.
24. Giá trị riêng của ma trận vuông A là gì?
A. Một vectơ v khác vectơ không sao cho Av = λv, với λ là một số vô hướng.
B. Một số vô hướng λ sao cho tồn tại vectơ v khác vectơ không thỏa mãn Av = λv.
C. Định thức của ma trận A.
D. Hạng của ma trận A.
25. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Nếu hệ này vô nghiệm, thì điều gì xảy ra với hạng của ma trận hệ số A và ma trận bổ sung [A|b]?
A. rank(A) = rank([A|b])
B. rank(A) < rank([A|b])
C. rank(A) > rank([A|b])
D. rank(A) = 0
26. Không gian vectơ nào sau đây KHÔNG phải là không gian con của R3?
A. {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0}
B. {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0, y = 0}
C. {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 0}
D. {(x, y, z) ∈ R3 | x = 1}
27. Phép chiếu trực giao từ vectơ v lên không gian con W là gì?
A. Vectơ thành phần của v nằm ngoài W.
B. Vectơ thành phần của v nằm trong W và vuông góc với W.
C. Vectơ thành phần của v nằm trong W và gần v nhất.
D. Vectơ v chia cho độ dài của v.
28. Định thức của ma trận đường chéo bằng:
A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính.
B. Tích các phần tử trên đường chéo chính.
C. 1.
D. 0.
29. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo rằng một ma trận vuông A là chéo hóa được?
A. A có đủ n giá trị riêng phân biệt (với ma trận cấp n).
B. A là ma trận đối xứng.
C. Tổng số chiều của các không gian riêng bằng n.
D. Định thức của A khác 0.
30. Trong không gian R2, phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép quay quanh gốc tọa độ?
A. f(x, y) = (x+1, y)
B. f(x, y) = (2x, 2y)
C. f(x, y) = (y, -x)
D. f(x, y) = (x, y+3)
