1. Gradient của một hàm số vô hướng f(x, y, z) là một:
A. Số vô hướng.
B. Vector.
C. Ma trận.
D. Tập hợp.
2. Trong không gian vector R³, tích có hướng của hai vector a và b là một vector:
A. Song song với cả a và b.
B. Vuông góc với cả a và b.
C. Nằm trong mặt phẳng tạo bởi a và b.
D. Cùng hướng với vector có độ lớn lớn hơn trong a và b.
3. Không gian vector con của một không gian vector V là:
A. Một tập hợp bất kỳ chứa vector không của V.
B. Một tập hợp con của V đóng với phép cộng vector và phép nhân với số vô hướng.
C. Bản thân không gian vector V.
D. Tập hợp rỗng.
4. Chuỗi Taylor của hàm số eˣ tại x = 0 là:
A. ∑ (xⁿ)∕(n!) từ n=0 đến ∞
B. ∑ ((-1)ⁿ × xⁿ)∕(n!) từ n=0 đến ∞
C. ∑ (xⁿ) từ n=0 đến ∞
D. ∑ (n! × xⁿ) từ n=0 đến ∞
5. Giá trị riêng của ma trận A là:
A. Các vector không gian cột của A.
B. Các giá trị λ thỏa mãn det(A - λI) = 0, với I là ma trận đơn vị.
C. Các hàng của ma trận A.
D. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của A.
6. Đạo hàm của hàm số f(x) = x³ - 2x² + x - 5 là:
A. 3x² - 4x + 1
B. x² - 4x + 1
C. 3x² - 2x + 1
D. 3x³ - 4x² + x
7. Trong tối ưu hóa tuyến tính, hàm mục tiêu thường là:
A. Hàm bậc hai.
B. Hàm phi tuyến.
C. Hàm tuyến tính.
D. Hàm mũ.
8. Hạng của ma trận là:
A. Số hàng của ma trận.
B. Số cột của ma trận.
C. Số chiều của không gian sinh bởi các vector hàng (hoặc cột) của ma trận.
D. Định thức của ma trận.
9. Tích phân suy rộng loại 1 là tích phân với:
A. Cận tích phân hữu hạn và hàm bị tích liên tục.
B. Cận tích phân vô hạn hoặc hàm bị tích không bị chặn.
C. Hàm bị tích là hàm đa thức.
D. Miền tích phân là một tập hợp bị chặn.
10. Không gian Hilbert là một loại không gian:
A. Metric hữu hạn chiều.
B. Vector định chuẩn đầy đủ với tích vô hướng.
C. Vector topo.
D. Euclid thông thường.
11. Phép biến đổi Fourier chuyển đổi một hàm số từ miền thời gian sang miền:
A. Không gian.
B. Tần số.
C. Phức.
D. Xác suất.
12. Trong không gian metric, một dãy Cauchy là dãy:
A. Hội tụ.
B. Bị chặn.
C. Mà các phần tử trở nên gần nhau khi chỉ số tăng lên.
D. Đơn điệu.
13. Trong giải tích phức, tích phân đường cong trên mặt phẳng phức được sử dụng để:
A. Tính diện tích hình phẳng.
B. Tính thể tích vật thể.
C. Tính tích phân của hàm phức dọc theo một đường cong.
D. Tìm nghiệm của phương trình vi phân thường.
14. Trong lý thuyết đồ thị, bậc của một đỉnh là:
A. Số cạnh kề với đỉnh đó.
B. Tổng trọng số của các cạnh liên thuộc với đỉnh.
C. Số đỉnh trong đồ thị.
D. Độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh đó đến đỉnh khác.
15. Phương trình vi phân y′' + y = 0 có nghiệm tổng quát dạng:
A. y = C1*eˣ + C2*e⁻ˣ
B. y = C1*cos(x) + C2*sin(x)
C. y = C1*x + C2
D. y = C1*eⁱˣ + C2*e⁻ⁱˣ
16. Trong lý thuyết nhóm, một nhóm Abel (Abelian group) là nhóm:
A. Không có phần tử đơn vị.
B. Có phép toán giao hoán.
C. Chỉ có một phần tử.
D. Vô hạn.
17. Phân phối chuẩn (Gaussian distribution) được xác định bởi:
A. Một tham số trung bình (μ).
B. Một tham số độ lệch chuẩn (σ).
C. Hai tham số: trung bình (μ) và độ lệch chuẩn (σ).
D. Ba tham số: trung bình, độ lệch chuẩn và phương sai.
18. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = x²*y + y³ theo biến x là:
A. 2xy + 3y²
B. x² + 3y²
C. 2xy
D. y + 3y²
19. Giới hạn của hàm số f(x) = (sin(x))∕x khi x tiến tới 0 là:
A. 0
B. 1
C. ∞
D. Không xác định.
20. Ma trận đơn vị là ma trận:
A. Vuông với tất cả các phần tử bằng 1.
B. Vuông với đường chéo chính là 1 và các phần tử còn lại là 0.
C. Bất kỳ ma trận vuông nào.
D. Chỉ tồn tại cho ma trận 2x2.
21. Định lý Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân đường và tích phân kép.
C. Tích phân kép và tích phân bội ba.
D. Đạo hàm riêng và tích phân bội.
22. Trong lý thuyết xác suất, biến cố xung khắc là hai biến cố:
A. Có thể cùng xảy ra.
B. Không thể cùng xảy ra.
C. Luôn xảy ra cùng nhau.
D. Độc lập với nhau.
23. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn:
A. Vô nghiệm.
B. Có nghiệm duy nhất.
C. Có ít nhất một nghiệm tầm thường (nghiệm không).
D. Có vô số nghiệm.
24. Trong tối ưu hóa, điểm dừng (stationary point) của hàm số là điểm mà tại đó:
A. Hàm số đạt giá trị lớn nhất.
B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
C. Đạo hàm (hoặc gradient) bằng 0.
D. Hàm số không xác định.
25. Điều kiện cần để một hàm số có cực trị tại một điểm là:
A. Đạo hàm bậc nhất tại điểm đó phải khác 0.
B. Đạo hàm bậc nhất tại điểm đó phải bằng 0.
C. Đạo hàm bậc hai tại điểm đó phải dương.
D. Đạo hàm bậc hai tại điểm đó phải âm.
26. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 3 là:
A. x² + 3x + C
B. 2x² + 3x + C
C. x² + C
D. 2x + 3x + C
27. Trong giải tích số, phương pháp Newton-Raphson được sử dụng để:
A. Tính tích phân xác định.
B. Giải phương trình vi phân.
C. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến.
D. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
28. Định thức của ma trận vuông bậc 2, A = [[a, b], [c, d]], được tính bằng công thức:
A. ad + bc
B. ac - bd
C. ad - bc
D. ab - cd
29. Phép biến đổi Laplace được sử dụng chủ yếu để:
A. Giải phương trình đại số tuyến tính.
B. Giải phương trình vi phân và tích phân.
C. Tìm giá trị riêng của ma trận.
D. Tính giới hạn của hàm số.
30. Chuỗi số ∑ (1∕nᵖ) hội tụ khi:
A. p < 1
B. p ≤ 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
