1. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vectơ u và v là một vectơ như thế nào?
A. Song song với cả u và v.
B. Vuông góc với cả u và v.
C. Nằm trong mặt phẳng chứa u và v.
D. Có độ dài bằng tổng độ dài của u và v.
2. Cho trường vectơ F = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để trường vectơ F là trường thế?
A. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
B. ∂P/∂y = ∂Q/∂x
C. P = Q
D. P + Q = 0
3. Định thức của ma trận vuông cấp n được tính như thế nào?
A. Tổng các tích các phần tử trên đường chéo chính.
B. Tích các phần tử trên đường chéo chính.
C. Tổng các tích các phần tử trên đường chéo phụ.
D. Một số vô hướng được tính theo một quy tắc nhất định từ các phần tử của ma trận.
4. Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai?
A. y'' + sin(y) = 0
B. y'' + xy' + y^2 = x
C. y'' + xy' + y = sin(x)
D. y'' + (y')^2 + y = x
5. Định lý Green liên hệ giữa tích phân đường và tích phân nào?
A. Tích phân bội một.
B. Tích phân bội hai.
C. Tích phân bội ba.
D. Tích phân mặt.
6. Phần ảo của số phức z = 3 - 4i là:
7. Trong phép biến đổi Laplace, biến đổi Laplace của đạo hàm f'(t) được biểu diễn như thế nào qua biến đổi Laplace F(s) của f(t)?
A. F'(s)
B. sF(s) - f(0)
C. F(s)/s
D. F(s) + f(0)
8. Điều kiện nào sau đây là đủ để chuỗi số dương ∑ a_n hội tụ theo tiêu chuẩn D'Alembert (tỷ số)?
A. lim_(n→∞) (a_(n+1)/a_n) > 1
B. lim_(n→∞) (a_(n+1)/a_n) = 1
C. lim_(n→∞) (a_(n+1)/a_n) < 1
D. lim_(n→∞) (a_(n+1)/a_n) = ∞
9. Hàm số f(x, y) có cực đại địa phương tại điểm (x0, y0) nếu điều kiện nào sau đây được thỏa mãn?
A. f_x(x0, y0) = 0, f_y(x0, y0) = 0 và định thức Hessian tại (x0, y0) dương.
B. f_x(x0, y0) = 0, f_y(x0, y0) = 0 và định thức Hessian tại (x0, y0) âm, f_xx(x0, y0) < 0.
C. f_x(x0, y0) = 0, f_y(x0, y0) = 0 và định thức Hessian tại (x0, y0) âm, f_xx(x0, y0) > 0.
D. f_x(x0, y0) ≠ 0 hoặc f_y(x0, y0) ≠ 0.
10. Tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA biểu diễn điều gì nếu f(x, y) = 1 và D là miền phẳng trong mặt phẳng xy?
A. Thể tích khối trụ.
B. Diện tích miền D.
C. Chu vi miền D.
D. Khối lượng vật phẳng.
11. Tích phân mặt loại 2 ∫∫_S F · dS dùng để tính đại lượng nào trong vật lý?
A. Công thực hiện bởi lực dọc theo đường cong.
B. Thông lượng của trường vectơ F qua mặt S.
C. Diện tích mặt S.
D. Thể tích vật thể giới hạn bởi S.
12. Trong hệ tọa độ trụ, biểu thức nào sau đây biểu diễn phần tử thể tích dV?
A. dx dy dz
B. r dr dθ dz
C. ρ^2 sin(φ) dρ dφ dθ
D. dr dz dθ
13. Phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng trong không gian R^3?
A. x^2 + y^2 + z^2 = 1
B. x^2 + y^2 = 1
C. ax + by + cz = d (a, b, c, d là hằng số)
D. z = x^2 + y^2
14. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp f_xy (đạo hàm theo x trước, sau đó theo y) là:
15. Biến đổi Laplace của hàm số đơn vị bước Heaviside u(t) là:
A. 1
B. 1/s
C. s
D. e^(-s)
16. Chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ c_n (x-a)^n có bán kính hội tụ R. Miền hội tụ của chuỗi này là:
A. (a-R, a+R)
B. [a-R, a+R]
C. (a-R, a+R] hoặc [a-R, a+R)
D. Tùy thuộc vào sự hội tụ tại x = a-R và x = a+R.
17. Công thức nào sau đây là công thức Stokes?
A. ∫_C F · dr = ∫∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
B. ∫_C F · dr = ∫∫_S (curl F) · n dS
C. ∫∫_S F · dS = ∫∫∫_V div F dV
D. ∫∫_S (curl F) · n dS = 0
18. Cho hàm số f(x, y) = e^(xy). Tính gradient của f tại điểm (1, 1).
A. (e, e)
B. (1, 1)
C. (e, 2e)
D. (2e, e)
19. Đường cong mức của hàm số z = f(x, y) là gì?
A. Tập hợp các điểm (x, y) sao cho f(x, y) = c (với c là hằng số).
B. Đồ thị của hàm số z = f(x, y).
C. Đạo hàm riêng của f(x, y).
D. Tích phân của f(x, y).
20. Tích phân đường ∫_C (x dy - y dx) dọc theo đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ là bao nhiêu?
21. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1/n^p) hội tụ khi nào?
A. p < 1
B. p ≤ 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
22. Trong không gian vectơ, điều kiện nào sau đây KHÔNG PHẢI là điều kiện để một tập hợp con W là không gian con của V?
A. W chứa vectơ không của V.
B. Với mọi u, v thuộc W, u + v thuộc W.
C. Với mọi u thuộc W và mọi số vô hướng c, c*u thuộc W.
D. W là tập hợp hữu hạn các vectơ.
23. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y'' + 4y = 0 là:
A. y(x) = C1*e^(2x) + C2*e^(-2x)
B. y(x) = C1*cos(2x) + C2*sin(2x)
C. y(x) = C1*x + C2
D. y(x) = C1*e^(4x) + C2*e^(-4x)
24. Giải phương trình vi phân tách biến dy/dx = x/y.
A. y = x + C
B. y^2 = x^2 + C
C. y = x^2 + C
D. y^2 = 2x + C
25. Cho hàm số f(x) = x^3. Khai triển Taylor của f(x) tại x = 1 đến bậc 2 là:
A. 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2
B. 1 + 3x + 3x^2
C. 1 + (x-1) + (x-1)^2
D. 1 + 3(x-1) + (x-1)^2
26. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y'' - 3y' + 2y = e^x có dạng nào?
A. y_p = Ae^x
B. y_p = Axe^x
C. y_p = Ax
D. y_p = A
27. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds dùng để tính đại lượng nào sau đây?
A. Diện tích hình phẳng.
B. Thể tích vật thể.
C. Khối lượng của dây cong với mật độ khối lượng f(x, y).
D. Công thực hiện bởi trường lực.
28. Phép biến đổi Fourier được sử dụng chủ yếu trong lĩnh vực nào?
A. Giải phương trình vi phân thường.
B. Phân tích tín hiệu và xử lý ảnh.
C. Tính tích phân bội.
D. Giải hệ phương trình tuyến tính.
29. Cho ma trận A vuông cấp n. Điều kiện nào sau đây KHÔNG tương đương với việc A khả nghịch?
A. det(A) ≠ 0
B. Hệ phương trình Ax = 0 chỉ có nghiệm tầm thường.
C. Các cột của A độc lập tuyến tính.
D. det(A) = 0
30. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Các vectơ khác không v thỏa mãn Av = λv.
B. Các số vô hướng λ thỏa mãn Av = λv với một vectơ khác không v.
C. Các hàng của ma trận A.
D. Các cột của ma trận A.
