1. Chuỗi lũy thừa ∑cn(x-a)^n hội tụ tại x = a với bán kính hội tụ R > 0. Điều gì xảy ra khi |x - a| < R?
A. Chuỗi chắc chắn phân kỳ.
B. Chuỗi hội tụ tuyệt đối.
C. Chuỗi hội tụ có điều kiện.
D. Không thể kết luận về sự hội tụ.
2. Tích phân đường loại 2 ∫C Pdx + Qdy phụ thuộc vào yếu tố nào sau đây?
A. Chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường cong C.
B. Chỉ phụ thuộc vào hàm số P(x, y) và Q(x, y).
C. Phụ thuộc vào cả đường cong C và các hàm số P(x, y), Q(x, y) cũng như hướng của đường cong C.
D. Không phụ thuộc vào đường cong C.
3. Chuỗi Taylor của hàm số e^x tại x = 0 là:
A. ∑(x^n / n!) (n từ 0 đến ∞)
B. ∑((-1)^n * x^n / n!) (n từ 0 đến ∞)
C. ∑(x^n) (n từ 0 đến ∞)
D. ∑(n! * x^n) (n từ 0 đến ∞)
4. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp fxy và fyx của một hàm số f(x, y) sẽ bằng nhau khi nào?
A. Luôn luôn bằng nhau với mọi hàm số f(x, y).
B. Khi hàm f(x, y) là hàm tuyến tính.
C. Khi các đạo hàm riêng cấp hai fxy và fyx liên tục tại điểm đang xét (theo định lý Clairaut).
D. Khi x = y.
5. Giá trị riêng của một ma trận vuông A là gì?
A. Các phần tử trên đường chéo chính của A.
B. Các giá trị λ sao cho det(A - λI) = 0, với I là ma trận đơn vị.
C. Định thức của ma trận A.
D. Các nghiệm của phương trình Ax = 0.
6. Ma trận nào sau đây không phải là ma trận vuông?
A. [[1, 2], [3, 4]]
B. [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
C. [[1, 2, 3]]
D. [[5]]
7. Trong không gian vectơ R^3, tích vô hướng của hai vectơ u = (u1, u2, u3) và v = (v1, v2, v3) được định nghĩa là:
A. u1*v1 + u2*v2 + u3*v3
B. √(u1*v1 + u2*v2 + u3*v3)
C. (u1*v1, u2*v2, u3*v3)
D. u1*v1 - u2*v2 + u3*v3
8. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để chuỗi số ∑an (n từ 1 đến ∞) hội tụ?
A. lim (n→∞) an = 0
B. Chuỗi các tổng riêng bị chặn.
C. lim (n→∞) an = L ≠ 0
D. Không có điều kiện cần và đủ chung cho mọi chuỗi số.
9. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vectơ u và v cho kết quả là:
A. Một số vô hướng.
B. Một vectơ vuông góc với cả u và v.
C. Một vectơ cùng phương với u hoặc v.
D. Ma trận.
10. Phương pháp biến thiên tham số được sử dụng để tìm:
A. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.
B. Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất.
C. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tách biến.
D. Nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính.
11. Định thức của một ma trận vuông có tính chất quan trọng nào sau đây?
A. Định thức của ma trận luôn là số dương.
B. Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận gốc.
C. Định thức của ma trận luôn là số nguyên.
D. Định thức của ma trận vuông luôn khác 0.
12. Tích phân mặt ∫∫S F⋅dS, trong đó F là trường vectơ và S là mặt kín, biểu diễn điều gì?
A. Công của trường vectơ F dọc theo biên của mặt S.
B. Thông lượng (flux) của trường vectơ F xuyên qua mặt S.
C. Độ xoáy (curl) của trường vectơ F trên mặt S.
D. Gradient của trường vectơ F trên mặt S.
13. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng số ay'' + by' + cy = 0 phụ thuộc vào:
A. Hàm số vế phải (trong trường hợp phương trình không thuần nhất).
B. Nghiệm của phương trình đặc trưng ar^2 + br + c = 0.
C. Điều kiện ban đầu.
D. Giá trị của a, b, c chỉ khi chúng là số nguyên.
14. Trong phép tính tích phân bội hai, việc chuyển sang tọa độ cực thường hữu ích nhất khi:
A. Miền tích phân là hình vuông.
B. Hàm số dưới dấu tích phân là hàm đa thức.
C. Miền tích phân hoặc hàm số dưới dấu tích phân có dạng hình tròn, hình trụ hoặc liên quan đến x^2 + y^2.
D. Khi cần tính tích phân trên toàn mặt phẳng Oxy.
15. Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để:
A. Tìm cực trị tự do của hàm nhiều biến.
B. Tìm cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến.
C. Tính tích phân bội hai.
D. Giải phương trình vi phân.
16. Hạng của ma trận là gì?
A. Số hàng của ma trận.
B. Số cột của ma trận.
C. Số chiều của không gian sinh bởi các vectơ hàng (hoặc vectơ cột) của ma trận.
D. Định thức của ma trận.
17. Biến đổi Fourier của một hàm số f(t) được sử dụng để:
A. Giải phương trình vi phân thường.
B. Phân tích tín hiệu thành các thành phần tần số của nó.
C. Tính tích phân xác định.
D. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.
18. Tích phân bội ba ∫∫∫V f(x, y, z) dV trong hệ tọa độ trụ biến đổi thành:
A. ∫∫∫V f(r cosθ, r sinθ, z) r dr dθ dz
B. ∫∫∫V f(r cosθ, r sinθ, z) dr dθ dz
C. ∫∫∫V f(r, θ, z) r^2 sinφ dr dθ dφ
D. ∫∫∫V f(r, θ, z) r dr dθ dz
19. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Tìm gradient của hàm số này tại điểm (1, 2).
A. (2, 4)
B. (1, 2)
C. (4, 2)
D. (2x, 2y)
20. Trong phép tính tích phân đường trên trường vectơ bảo toàn, giá trị của tích phân đường phụ thuộc vào:
A. Đường đi cụ thể giữa điểm đầu và điểm cuối.
B. Chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường đi, không phụ thuộc vào đường đi cụ thể.
C. Độ dài của đường đi.
D. Diện tích giới hạn bởi đường đi.
21. Phép biến đổi Laplace của đạo hàm f'(t) (với F(s) là biến đổi Laplace của f(t)) là:
A. F(s) / s
B. sF(s) - f(0)
C. F'(s)
D. -F'(s)
22. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số?
A. y'' + xy' + y = 0
B. y'' + 2y' + y = sin(x)
C. y'' + (y')^2 + y = 0
D. y'' + y' + √y = x
23. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường dọc theo một đường cong kín C và tích phân mặt trên mặt S giới hạn bởi C.
B. Tích phân đường dọc theo một đường cong kín C trên mặt phẳng và tích phân bội hai trên miền D giới hạn bởi C.
C. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
D. Gradient và curl của một trường vectơ.
24. Chuỗi Fourier của một hàm số tuần hoàn f(x) biểu diễn hàm số đó dưới dạng:
A. Tích của các hàm lượng giác.
B. Tổng vô hạn của các hàm đa thức.
C. Tổng vô hạn của các hàm lượng giác (sin và cosin).
D. Thương của các hàm lượng giác.
25. Trong giải tích vectơ, div(grad f) (độ phân kỳ của gradient của một hàm vô hướng f) còn được gọi là:
A. Curl của f.
B. Laplacian của f.
C. Vector gradient của f.
D. Tích phân đường của f.
26. Trong phương trình vi phân y' = f(x, y), trường hợp nào sau đây phương trình là phương trình tách biến?
A. f(x, y) = x + y
B. f(x, y) = xy
C. f(x, y) = x/y + 1
D. f(x, y) = x^2 + y^2
27. Hệ phương trình tuyến tính Ax = b được gọi là nhất quán khi nào?
A. Khi định thức của ma trận A khác 0.
B. Khi nó có ít nhất một nghiệm.
C. Khi nó có nghiệm duy nhất.
D. Khi ma trận A là ma trận vuông.
28. Để hàm số f(x, y) đạt cực đại địa phương tại điểm (x0, y0), điều kiện nào sau đây phải thỏa mãn (ngoài điều kiện đạo hàm riêng cấp nhất bằng 0)?
A. Định thức của ma trận Hessian tại (x0, y0) phải dương và fxx(x0, y0) > 0.
B. Định thức của ma trận Hessian tại (x0, y0) phải âm.
C. Định thức của ma trận Hessian tại (x0, y0) phải dương và fxx(x0, y0) < 0.
D. Định thức của ma trận Hessian tại (x0, y0) phải bằng 0.
29. Không gian vectơ con của R^n là gì?
A. Một tập hợp bất kỳ các vectơ trong R^n.
B. Một tập hợp các vectơ trong R^n đóng kín với phép cộng vectơ và phép nhân với một số vô hướng, và chứa vectơ không.
C. Một tập hợp hữu hạn các vectơ trong R^n.
D. Toàn bộ không gian R^n.
30. Khi nào thì một hàm số f(x, y) khả vi tại điểm (x0, y0)?
A. Khi các đạo hàm riêng fx(x0, y0) và fy(x0, y0) tồn tại.
B. Khi các đạo hàm riêng fx(x, y) và fy(x, y) liên tục tại (x0, y0).
C. Khi f(x, y) liên tục tại (x0, y0).
D. Khi f(x, y) là hàm đa thức.
