1. Trường vectơ F = (P(x,y), Q(x,y)) là trường bảo toàn nếu tồn tại hàm f(x,y) sao cho:
A. ∇f = F
B. div F = 0
C. curl F = 0
D. f = P + Q
2. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ = 2x là:
A. y = x² + C
B. y = 2x² + C
C. y = eˣ^² + C
D. y = ln|x| + C
3. Curl của một trường vectơ F = (P, Q, R) là một:
A. Trường vectơ
B. Hàm vô hướng
C. Số thực
D. Đường cong
4. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân mặt và tích phân khối
C. Tích phân kép và tích phân bội ba
D. Tích phân bội và tích phân đơn
5. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 1 là:
A. x² + C
B. x² + x + C
C. 2x² + x + C
D. 2x² + C
6. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b quanh trục Ox được tính bởi công thức:
A. π∫[a,b] [f(x)]² dx
B. ∫[a,b] [f(x)]² dx
C. 2π∫[a,b] xf(x) dx
D. π∫[a,b] f(x) dx
7. Để tính tích phân ∫sin(x)cos(x)dx, phép đổi biến nào sau đây là phù hợp nhất?
A. u = sin(x)
B. u = cos(x)
C. u = tan(x)
D. u = x
8. Công thức nào sau đây là công thức tích phân từng phần?
A. ∫udv = uv - ∫vdu
B. ∫udv = uv + ∫vdu
C. ∫(u+v)dx = ∫udx + ∫vdx
D. ∫cudx = c∫udx
9. Tích phân suy rộng ∫[1, ∞] (1∕x²) dx hội tụ hay phân kỳ?
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Không xác định
D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
10. Phương trình vi phân y′' + y = 0 là phương trình vi phân tuyến tính:
A. Cấp hai hệ số hằng
B. Cấp nhất hệ số hằng
C. Cấp hai hệ số biến thiên
D. Cấp nhất hệ số biến thiên
11. Định lý Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân kép
B. Tích phân mặt và tích phân đường
C. Tích phân khối và tích phân mặt
D. Tích phân bội và tích phân đơn
12. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] (1∕n) là chuỗi:
A. Điều hòa
B. Hình học
C. P-chuỗi
D. Đan dấu
13. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] (-1)ⁿ⁺¹ × (1∕n) là chuỗi:
A. Đan dấu
B. Dương
C. Hình học
D. P-chuỗi
14. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 1 được tính bằng công thức nào?
A. ∫[0,1] x² dx
B. ∫[0,1] |x²| dx
C. ∫[0,1] (x²)² dx
D. ∫[0,1] √(x²) dx
15. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y′' + y = 0 có dạng:
A. y = C1*cos(x) + C2*sin(x)
B. y = C1*eˣ + C2*e⁻ˣ
C. y = C*eˣ
D. y = C*x
16. Gradient của một hàm vô hướng f(x,y,z) là một:
A. Trường vectơ
B. Hàm vô hướng
C. Số thực
D. Đường cong
17. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] (xⁿ)∕(n!) là:
18. Tích phân kép ∫∫[D] f(x,y) dA, với D là miền chữ nhật [a,b]x[c,d], được tính bằng tích phân lặp nào?
A. ∫[c,d] ∫[a,b] f(x,y) dxdy
B. ∫[a,b] ∫[c,d] f(x,y) dydx
C. ∫[a,b] ∫[a,b] f(x,y) dxdy
D. ∫[c,d] ∫[c,d] f(x,y) dydx
19. Tích phân đường loại 1 ∫[C] f(x,y) ds tính dọc theo đường cong C tham số r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, được tính bằng:
A. ∫[a,b] f(x(t), y(t)) ||r′(t)|| dt
B. ∫[a,b] f(x(t), y(t)) r′(t) dt
C. ∫[C] f(x,y) dt
D. ∫[a,b] f(x′(t), y′(t)) ||r(t)|| dt
20. Divergence của một trường vectơ F = (P, Q, R) là một:
A. Hàm vô hướng
B. Trường vectơ
C. Số thực
D. Đường cong
21. Khai triển Taylor của hàm số eˣ tại x = 0 là:
A. ∑[n=0, ∞] (xⁿ)∕(n!)
B. ∑[n=0, ∞] xⁿ
C. ∑[n=1, ∞] (xⁿ)∕(n!)
D. ∑[n=0, ∞] (-1)ⁿ (xⁿ)∕(n!)
22. Tiêu chuẩn nào sau đây dùng để xét sự hội tụ của chuỗi số dương?
A. Tiêu chuẩn so sánh
B. Tiêu chuẩn Leibniz
C. Tiêu chuẩn Cauchy cho dãy
D. Tiêu chuẩn Weierstrass
23. Tích phân ∫(1∕x)dx bằng:
A. ln|x| + C
B. 1∕x² + C
C. -1∕x² + C
D. xln|x| - x + C
24. Tích phân ∫[0, π∕2] sin²(x)cos(x) dx bằng:
A. 1∕3
B. 2∕3
C. 1
D. π∕4
25. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] (n²)∕(2ⁿ) hội tụ hay phân kỳ?
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Không xác định
D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
26. Phương trình vi phân y′ = xy là phương trình vi phân:
A. Tách biến
B. Tuyển tính cấp nhất
C. Đẳng cấp
D. Toàn phần
27. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ giữa:
A. Tích phân mặt và tích phân khối
B. Tích phân đường và tích phân mặt
C. Tích phân kép và tích phân đường
D. Tích phân bội và tích phân đơn
28. Jacobian của phép biến đổi tọa độ cực là:
A. r
B. r²
C. 1∕r
D. 1∕r²
29. Độ dài cung của đường cong y = f(x) từ x = a đến x = b được tính bằng công thức:
A. ∫[a,b] √(1 + [f′(x)]²) dx
B. ∫[a,b] √(1 + f′(x)) dx
C. ∫[a,b] √([f′(x)]²) dx
D. ∫[a,b] (1 + [f′(x)]²) dx
30. Để chuyển tích phân kép sang tọa độ cực, ta sử dụng biến đổi:
A. x = rcosθ, y = rsinθ
B. x = rsinθ, y = rcosθ
C. x = rθcosθ, y = rθsinθ
D. x = rcosθ, y = r
