1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 1 được tính bằng tích phân nào?
A. ∫[0, 1] x² dx
B. ∫[0, 1] |x²| dx
C. ∫[0, 1] (x²)² dx
D. ∫[0, 1] √(x²) dx
2. Tích phân suy rộng ∫[1, +∞) (1∕x²) dx hội tụ hay phân kỳ?
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Không xác định
D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
3. Tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA biểu diễn điều gì?
A. Thể tích giữa mặt z = f(x, y) và miền D trên mặt phẳng xy
B. Diện tích miền D
C. Độ dài đường biên của miền D
D. Giá trị trung bình của f(x, y) trên D
4. Vectơ gradient của hàm số f(x, y) = x² + y² tại điểm (1, 1) là:
A. <2, 2>
B. <1, 1>
C. < 2x, 2y >
D. < x², y² >
5. Phương trình vi phân y′ = f(x) là phương trình vi phân cấp mấy?
A. Cấp 1
B. Cấp 2
C. Cấp 0
D. Không xác định cấp
6. Tích phân đường ∫_C P dx + Q dy phụ thuộc vào đường đi C khi nào?
A. Khi ∂P∕∂y ≠ ∂Q∕∂x
B. Khi ∂P∕∂y = ∂Q∕∂x
C. Luôn phụ thuộc vào đường đi
D. Không bao giờ phụ thuộc vào đường đi
7. Chuỗi Taylor của hàm số eˣ tại x = 0 là:
A. ∑[n=0, ∞] xⁿ∕n!
B. ∑[n=0, ∞] xⁿ
C. ∑[n=1, ∞] xⁿ∕n!
D. ∑[n=1, ∞] (-1)ⁿ xⁿ∕n!
8. Vi phân toàn phần của hàm số z = f(x, y) được định nghĩa là:
A. dz = (∂z∕∂x)dx + (∂z∕∂y)dy
B. dz = (∂z∕∂x)dx - (∂z∕∂y)dy
C. dz = (∂z∕∂y)dx + (∂z∕∂x)dy
D. dz = (∂^2z∕∂x²)dx + (∂^2z∕∂y²)dy
9. Điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực trị tại điểm (x0, y0) là:
A. ∇f(x0, y0) = <0, 0>
B. ∇f(x0, y0) ≠ <0, 0>
C. Hessian(f)(x0, y0) > 0
D. Hessian(f)(x0, y0) < 0
10. Công thức nào sau đây là công thức tính độ dài cung của đường cong tham số r(t) = , a ≤ t ≤ b?
A. L = ∫[a, b] ||r′(t)|| dt
B. L = ∫[a, b] r′(t) dt
C. L = ∫[a, b] ||r(t)|| dt
D. L = ∫[a, b] r(t) dt
11. Tích phân xác định ∫[0, 1] x² dx bằng:
A. 1∕4
B. 1∕3
C. 1∕2
D. 1
12. Tích phân ∫[-a, a] f(x) dx bằng 0 nếu f(x) là hàm số:
A. Lẻ
B. Chẵn
C. Tuần hoàn
D. Bất kỳ
13. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = x²y + y³ theo biến x là:
A. 2xy
B. x² + 3y²
C. 2x + 3y²
D. 2xy + 3y²
14. Điểm dừng của hàm số f(x, y) là điểm mà tại đó:
A. ∂f∕∂x = 0 và ∂f∕∂y = 0
B. ∂f∕∂x ≠ 0 và ∂f∕∂y ≠ 0
C. ∂^2f∕∂x² = 0 và ∂^2f∕∂y² = 0
D. f(x, y) = 0
15. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] aₙ (x-c)ⁿ được xác định bởi công thức nào?
A. R = 1∕lim sup |aₙ|^(1∕n)
B. R = lim sup |aₙ|^(1∕n)
C. R = lim sup |aₙ|∕|aₙ₊₁|
D. R = lim sup |aₙ₊₁|∕|aₙ|
16. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 1 là:
A. x² + C
B. x² + x + C
C. 2x² + x + C
D. 2x² + C
17. Tích phân lặp ∫[0, 1] ∫[0, 2] xy dy dx bằng:
18. Công thức nào sau đây là công thức tích phân từng phần?
A. ∫udv = uv - ∫vdu
B. ∫udv = uv + ∫vdu
C. ∫udv = u′v - ∫uv′
D. ∫udv = u′v + ∫uv′
19. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox được tính bằng công thức nào?
A. π∫[0, 4] (√x)² dx
B. π∫[0, 4] √x dx
C. 2π∫[0, 4] x dx
D. ∫[0, 4] (√x)² dx
20. Để tính tích phân ∫∫_D f(x, y) dA trong tọa độ cực, ta thay dA bằng:
A. r dr dθ
B. dr dθ
C. r² dr dθ
D. r sin(θ) dr dθ
21. Chuỗi ∑[n=1, ∞] (1∕nᵖ) hội tụ khi nào?
A. p > 1
B. p < 1
C. p ≤ 1
D. p ≥ 1
22. Định lý Green liên hệ giữa tích phân đường và tích phân nào?
A. Tích phân bội hai
B. Tích phân bội ba
C. Tích phân mặt
D. Tích phân đường loại 1
23. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] (1∕n) là chuỗi gì?
A. Chuỗi điều hòa
B. Chuỗi hình học
C. Chuỗi lũy thừa
D. Chuỗi Taylor
24. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y′ = y là:
A. y = eˣ
B. y = x
C. y = 1
D. y = x²
25. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds tính trên đường cong C tham số r(t) = , a ≤ t ≤ b được tính bằng công thức nào?
A. ∫[a, b] f(x(t), y(t)) ||r′(t)|| dt
B. ∫[a, b] f(x(t), y(t)) r′(t) dt
C. ∫[a, b] f(x(t), y(t)) dt
D. ∫[a, b] f(x′(t), y′(t)) ||r(t)|| dt
26. Phương trình vi phân y′' + ay′ + by = 0 là phương trình vi phân tuyến tính cấp:
27. Chuỗi hình học ∑[n=0, ∞] rⁿ hội tụ khi nào?
A. |r| < 1
B. |r| > 1
C. r = 1
D. r = -1
28. Trong tích phân bội ba trong tọa độ cầu, phần tử thể tích dV được thay bằng:
A. ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
B. ρ dρ dφ dθ
C. ρ² dρ dφ dθ
D. ρ sin(φ) dρ dφ dθ
29. Hàm số f(x, y) = x² - y² có điểm dừng tại (0, 0) là điểm gì?
A. Điểm yên ngựa
B. Cực đại địa phương
C. Cực tiểu địa phương
D. Không xác định
30. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ = 2x là:
A. y = x² + C
B. y = 2x² + C
C. y = x²
D. y = 2x²
