1. Hàm số nào sau đây là nghiệm của phương trình Laplace ∂^2u∕∂x² + ∂^2u∕∂y² = 0?
A. u(x, y) = x² + y²
B. u(x, y) = x² - y²
C. u(x, y) = xy
D. u(x, y) = eˣ⁺ʸ
2. Đường cong tham số r(t) = (cos(t), sin(t), t) (với t ∈ R) biểu diễn hình gì trong không gian R³?
A. Đường tròn.
B. Đường xoắn ốc.
C. Đường thẳng.
D. Parabol xoắn.
3. Trong không gian vectơ R³, tập hợp các vectơ {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} là:
A. Không gian con.
B. Cơ sở của R³.
C. Phụ thuộc tuyến tính.
D. Sinh ra không gian R².
4. Hệ phương trình tuyến tính AX = B có nghiệm duy nhất khi nào?
A. det(A) = 0.
B. det(A) ≠ 0.
C. B = 0.
D. A là ma trận vuông.
5. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân mặt và tích phân khối.
C. Tích phân đường và tích phân khối.
D. Đạo hàm và tích phân.
6. Chuỗi Taylor của hàm số eˣ tại x = 0 là:
A. ∑ (xⁿ ∕ n!) từ n=0 đến ∞
B. ∑ ((-1)ⁿ × xⁿ ∕ n!) từ n=0 đến ∞
C. ∑ (xⁿ ∕ (2n)!) từ n=0 đến ∞
D. ∑ (x²ⁿ⁺¹ ∕ (2n+1)!) từ n=0 đến ∞
7. Tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA biểu diễn điều gì?
A. Độ dài đường cong.
B. Diện tích miền D.
C. Thể tích dưới bề mặt z = f(x, y) trên miền D.
D. Gradient của f(x, y).
8. Trong không gian vectơ, một tập hợp con V được gọi là không gian con của không gian vectơ W nếu:
A. V ⊂ W và V chứa vectơ không.
B. V ⊂ W và V đóng kín với phép cộng vectơ và phép nhân với số vô hướng.
C. V ⊂ W và V hữu hạn chiều.
D. V ⊂ W và mọi vectơ trong V đều khác vectơ không.
9. Chuỗi số ∑ (1∕nᵖ) hội tụ khi:
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p > 1
D. p = 1
10. Giá trị riêng của ma trận là gì?
A. Định thức của ma trận.
B. Vectơ riêng tương ứng với ma trận.
C. Các giá trị λ thỏa mãn det(A - λI) = 0.
D. Tổng các phần tử trên đường chéo chính.
11. Trong không gian R², phương trình x² + y² - 2x = 0 biểu diễn hình gì?
A. Đường thẳng.
B. Đường tròn.
C. Parabol.
D. Elip.
12. Cho hàm số f(x, y) = xy. Hướng của gradient ∇f(x, y) tại điểm (1, 2) là hướng:
A. Tốc độ giảm lớn nhất của f.
B. Tốc độ tăng lớn nhất của f.
C. Đường mức của f.
D. Vuông góc với gradient.
13. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch khi nào?
A. Khi định thức của A bằng 0.
B. Khi định thức của A khác 0.
C. Khi tất cả các phần tử của A khác 0.
D. Khi A là ma trận đơn vị.
14. Định nghĩa chính xác của giới hạn của hàm số f(x) khi x → a là gì?
A. Nếu f(x) tiến gần đến L khi x tiến gần đến a.
B. Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε.
C. Giá trị của hàm số f tại điểm x = a.
D. Đạo hàm của hàm số f tại điểm x = a.
15. Ứng dụng của phép biến đổi Fourier là gì?
A. Giải phương trình vi phân thường.
B. Phân tích tín hiệu và xử lý ảnh.
C. Tính tích phân xác định.
D. Tìm ma trận nghịch đảo.
16. Giới hạn của dãy số (1 + 1∕n)ⁿ khi n tiến tới vô cùng là:
A. 0
B. 1
C. e
D. vô cùng
17. Tích phân bất định của hàm số f(x) = cos(2x) là:
A. sin(2x) + C
B. (1∕2)sin(2x) + C
C. -sin(2x) + C
D. -(1∕2)sin(2x) + C
18. Trong lý thuyết nhóm, một nhóm G được gọi là Abel (Abelian) nếu:
A. G có phần tử đơn vị.
B. G đóng kín với phép toán nhóm.
C. Phép toán nhóm giao hoán (a × b = b × a với mọi a, b ∈ G).
D. Mỗi phần tử trong G có phần tử nghịch đảo.
19. Đạo hàm của hàm số f(x) = ln(x² + 1) là:
A. 2x ∕ (x² + 1)
B. 1 ∕ (x² + 1)
C. 2ln(x) ∕ (x² + 1)
D. 2x × ln(x² + 1)
20. Trong không gian R³, tích có hướng của hai vectơ u và v là một vectơ:
A. Cùng phương với u và v.
B. Vuông góc với mặt phẳng chứa u và v.
C. Nằm trong mặt phẳng chứa u và v.
D. Có độ dài bằng tích vô hướng của u và v.
21. Phương trình vi phân y′' + 4y′ + 4y = 0 có nghiệm tổng quát dạng nào?
A. y = C1*e²ˣ + C2*e⁻²ˣ
B. y = C1*cos(2x) + C2*sin(2x)
C. y = (C1 + C2*x)*e⁻²ˣ
D. y = (C1 + C2*x)*e²ˣ
22. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) = 1 là:
23. Cho vectơ u = (1, -2, 3) và v = (0, 1, -1). Tích vô hướng của u và v là:
24. Điều kiện cần và đủ để một trường vectơ F là trường bảo toàn (conservative vector field) trên miền D là:
A. curl F = 0 trên D.
B. div F = 0 trên D.
C. grad f = F với một hàm vô hướng f.
D. Tất cả các đáp án trên đều đúng.
25. Công thức nào sau đây là công thức Green?
A. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂Q∕∂x - ∂P∕∂y) dA
B. ∫_C F · dr = ∫∫_S (curl F) · n dS
C. ∫∫_S F · n dS = ∫∫∫_V div F dV
D. ∫_aᵇ f′(x) dx = f(b) - f(a)
26. Đạo hàm riêng phần của hàm số f(x, y) = x²y + xy³ theo biến x là:
A. 2xy + y³
B. x² + 3xy²
C. 2x + 3y²
D. 2y + 3x
27. Cho hàm số f(x) = |x|. Hàm số này:
A. Khả vi tại x = 0.
B. Liên tục nhưng không khả vi tại x = 0.
C. Không liên tục tại x = 0.
D. Vừa liên tục vừa khả vi trên R.
28. Trong tối ưu hóa, phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để:
A. Tìm cực trị tự do của hàm số.
B. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số.
C. Giải hệ phương trình tuyến tính.
D. Tính tích phân bội.
29. Phân kỳ (divergence) của trường vectơ F = (P, Q, R) được tính bởi:
A. ∇ × F
B. ∇ · F
C. ||∇F||
D. ∫∫∫_V F dV
30. Trong giải tích phức, tích phân đường của hàm f(z) dọc theo đường cong kín C phụ thuộc vào:
A. Hình dạng đường cong C.
B. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C.
C. Các điểm kỳ dị của f(z) nằm bên trong C.
D. Giá trị của f(z) trên đường cong C.
