1. Điều kiện hội tụ của chuỗi số dương ∑ a_n theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn là:
A. Nếu lim_(n->∞) (a_n / b_n) = 0 và ∑ b_n hội tụ thì ∑ a_n hội tụ.
B. Nếu lim_(n->∞) (a_n / b_n) = ∞ và ∑ b_n hội tụ thì ∑ a_n hội tụ.
C. Nếu lim_(n->∞) (a_n / b_n) = c > 0 và ∑ b_n hội tụ thì ∑ a_n phân kỳ.
D. Nếu lim_(n->∞) (a_n / b_n) = c > 0 và ∑ b_n hội tụ thì ∑ a_n hội tụ.
2. Eigenvalue (giá trị riêng) của một ma trận vuông A là:
A. Một vectơ x khác vectơ không thỏa mãn Ax = λx.
B. Một số vô hướng λ thỏa mãn Ax = λx với một vectơ x khác vectơ không.
C. Định thức của ma trận A.
D. Vết của ma trận A.
3. Trong không gian R^2, vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2x - 3y = 5 là:
A. (2, -3).
B. (-3, 2).
C. (3, 2).
D. (2, 3).
4. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1).
B. (0, 0) và (-1, -1).
C. (1, 0) và (0, 1).
D. Không có điểm dừng.
5. Trong các khẳng định sau về tích phân kép, khẳng định nào SAI?
A. Tích phân kép có thể dùng để tính diện tích miền phẳng.
B. Tích phân kép có thể dùng để tính thể tích vật thể.
C. Tích phân kép luôn tồn tại với mọi hàm số liên tục trên miền bị chặn.
D. Thứ tự lấy tích phân trong tích phân kép không ảnh hưởng đến kết quả nếu hàm liên tục và miền lấy tích phân phù hợp.
6. Định thức của ma trận đường chéo cấp n có các phần tử trên đường chéo lần lượt là d1, d2, ..., dn bằng:
A. d1 + d2 + ... + dn.
B. 0.
C. 1.
D. d1 * d2 * ... * dn.
7. Trong phép tính tích phân bội ba trong tọa độ cầu, yếu tố thể tích dV được biểu diễn là:
A. r dr dθ dz.
B. r^2 sin(φ) dr dφ dθ.
C. r dr dφ dθ.
D. r^2 dr dφ dθ.
8. Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai?
A. y'' + sin(y) = 0.
B. y'' + xy' + y^2 = x.
C. y'' + xy' + y = e^x.
D. y'' + (y')^2 + y = x.
9. Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A khả nghịch là:
A. det(A) = 0.
B. det(A) ≠ 0.
C. A là ma trận đối xứng.
D. A là ma trận đường chéo.
10. Tích phân ∫∫_D dA, với D là miền giới hạn bởi đường tròn x^2 + y^2 = R^2, biểu diễn:
A. Chu vi đường tròn.
B. Diện tích hình tròn.
C. Thể tích hình cầu.
D. Độ dài đường kính.
11. Cho phương trình vi phân chính xác P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đúng?
A. ∂P/∂y = ∂Q/∂x.
B. Tồn tại hàm số u(x, y) sao cho ∂u/∂x = P và ∂u/∂y = Q.
C. ∫P(x, y)dx + ∫Q(x, y)dy = C là nghiệm tổng quát.
D. Công thức nghiệm tổng quát có thể tìm được bằng cách tích phân P theo x (hoặc Q theo y) và sau đó tìm hàm số phụ thuộc vào biến còn lại.
12. Ma trận Hessian của hàm số f(x, y) được sử dụng để:
A. Tìm điểm dừng của hàm số.
B. Xác định tính chất cực trị của điểm dừng (cực đại, cực tiểu, điểm yên ngựa).
C. Tính đạo hàm riêng của hàm số.
D. Tính gradient của hàm số.
13. Đường cong mức (level curve) của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 là:
A. Đường thẳng.
B. Đường tròn.
C. Parabol.
D. Hyperbol.
14. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vectơ u và v KHÔNG có tính chất nào sau đây?
A. u x v vuông góc với cả u và v.
B. u x v = - (v x u).
C. ||u x v|| = ||u|| ||v|| sin(θ), với θ là góc giữa u và v.
D. u x v = v x u.
15. Chuỗi Taylor của hàm số e^x tại x = 0 là:
A. ∑_(n=0)^∞ x^n / n!.
B. ∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^n / n!.
C. ∑_(n=0)^∞ x^(2n) / (2n)!.
D. ∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^(2n) / (2n)!.
16. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường trên đường cong kín và tích phân kép trên miền phẳng giới hạn bởi đường cong đó.
B. Tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2.
C. Tích phân kép và tích phân bội ba.
D. Tích phân mặt và tích phân đường.
17. Tích phân bất định ∫ cos(2x) dx bằng:
A. sin(2x) + C.
B. 2sin(2x) + C.
C. (1/2)sin(2x) + C.
D. -sin(2x) + C.
18. Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để:
A. Tìm cực trị tự do của hàm nhiều biến.
B. Tìm cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến.
C. Tính tích phân bội.
D. Giải phương trình vi phân.
19. Hạng của ma trận (rank) KHÔNG thay đổi khi thực hiện phép biến đổi sơ cấp nào sau đây?
A. Nhân một hàng với một số khác 0.
B. Đổi chỗ hai hàng.
C. Cộng vào một hàng một bội của hàng khác.
D. Nhân một hàng với 0.
20. Trong phép biến đổi Laplace, biến đổi Laplace của đạo hàm f'(t) được biểu diễn qua biến đổi Laplace của f(t), ký hiệu là F(s) = L{f(t)}, như thế nào?
A. sF(s).
B. sF(s) - f(0).
C. F(s)/s.
D. F(s)/s - f(0).
21. Trong không gian vectơ R^3, phép toán nào sau đây KHÔNG phải là phép toán tuyến tính?
A. Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng xy.
B. Phép quay quanh trục z một góc 90 độ.
C. Phép tịnh tiến vectơ (1, 2, 3).
D. Phép nhân mỗi vectơ với một hằng số 5.
22. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x/2)^n là:
A. (-2, 2).
B. [-2, 2).
C. (-2, 2].
D. [-2, 2].
23. Cho hàm số f(x, y) và đường cong C tham số hóa bởi r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b. Tích phân đường ∫_C f(x, y) dx có thể được viết thành:
A. ∫_a^b f(x(t), y(t)) dt.
B. ∫_a^b f(x(t), y(t)) y'(t) dt.
C. ∫_a^b f(x(t), y(t)) x'(t) dt.
D. ∫_a^b f(x(t), y(t)) ||r'(t)|| dt.
24. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = x^2*sin(xy) theo biến y là:
A. 2x*sin(xy) + x^3*cos(xy).
B. x^3*cos(xy).
C. x^2*cos(xy).
D. 2x*cos(xy).
25. Cho hàm số f(x, y) = xy/(x^2 + y^2) khi (x, y) ≠ (0, 0) và f(0, 0) = 0. Hàm số này:
A. Liên tục tại (0, 0).
B. Không liên tục tại (0, 0) nhưng có giới hạn tại (0,0).
C. Không liên tục tại (0, 0) và không có giới hạn tại (0,0).
D. Liên tục khắp mọi nơi.
26. Cho trường vectơ F = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện để trường vectơ F là trường bảo toàn là:
A. ∂P/∂x = ∂Q/∂y.
B. ∂P/∂y = ∂Q/∂x.
C. ∂P/∂x = -∂Q/∂y.
D. ∂P/∂y = -∂Q/∂x.
27. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Gradient của f tại điểm (1, 2) là:
A. (1, 2).
B. (2, 4).
C. (2x, 2y).
D. (5).
28. Cho phương trình vi phân y'' - 4y' + 4y = 0. Nghiệm tổng quát của phương trình này là:
A. y = C1*e^(2x) + C2*e^(-2x).
B. y = C1*cos(2x) + C2*sin(2x).
C. y = C1*e^(2x) + C2*x*e^(2x).
D. y = C1*e^(-2x) + C2*x*e^(-2x).
29. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds dùng để tính:
A. Diện tích miền phẳng giới hạn bởi đường cong C.
B. Độ dài đường cong C.
C. Công của trường vectơ dọc theo đường cong C.
D. Lưu lượng của trường vectơ qua đường cong C.
30. Trong các phép biến đổi tọa độ sau, phép biến đổi nào là tuyến tính?
A. x' = x + 2, y' = y - 1.
B. x' = 2x + y, y' = x - 3y.
C. x' = x^2, y' = y.
D. x' = sin(x), y' = cos(y).
