1. Cho phép biến đổi tuyến tính T: R² → R² biến vectơ (1, 0) thành (2, 1) và vectơ (0, 1) thành (-1, 1). Ma trận biểu diễn của T là:
A. [[2, -1], [1, 1]].
B. [[-1, 2], [1, 1]].
C. [[1, 0], [0, 1]].
D. [[2, 1], [-1, 1]].
2. Ma trận đường chéo là ma trận:
A. Có tất cả các phần tử bằng 0.
B. Có tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng 1.
C. Có tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0.
D. Có định thức bằng 0.
3. Cho hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số mở rộng là [A|b]. Hệ phương trình vô nghiệm khi:
A. rank(A) = rank([A|b]).
B. rank(A) < rank([A|b]).
C. rank(A) > rank([A|b]).
D. rank(A) = số ẩn.
4. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 luôn là:
A. Tập hợp rỗng.
B. Một điểm duy nhất.
C. Một không gian con của không gian vectơ.
D. Toàn bộ không gian vectơ.
5. Định thức của ma trận đơn vị cấp n là:
6. Cho ánh xạ tuyến tính f: V → W. Hạt nhân của f (ker(f)) là:
A. Tập hợp tất cả các vectơ v ∈ V sao cho f(v) = 0.
B. Tập hợp tất cả các vectơ w ∈ W sao cho tồn tại v ∈ V mà f(v) = w.
C. Không gian vectơ W.
D. Không gian vectơ V.
7. Cho hai vectơ u = (1, 2, -1) và v = (3, -1, 2). Tích vô hướng của u và v là:
8. Tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính tối đa trong một không gian vectơ V tạo thành:
A. Không gian sinh của V.
B. Cơ sở của V.
C. Không gian con của V.
D. Hệ sinh của V.
9. Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là SAI?
A. Nếu det(A) ≠ 0 thì A khả nghịch.
B. Nếu A khả nghịch thì hệ AX = b luôn có nghiệm duy nhất.
C. Nếu các cột của A độc lập tuyến tính thì det(A) = 0.
D. Nếu det(A) = 0 thì tồn tại nghiệm không tầm thường cho AX = 0.
10. Ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi:
A. Định thức của nó bằng 0.
B. Các hàng của nó phụ thuộc tuyến tính.
C. Các cột của nó độc lập tuyến tính.
D. Nó có ít hơn n cột, với n là cấp của ma trận.
11. Cho ma trận A vuông. Định thức của 2A (det(2A)), với A là ma trận cấp n, bằng:
A. 2det(A).
B. 2ⁿdet(A).
C. det(A)².
D. det(A)/2.
12. Phép chiếu trực giao lên một không gian con W là một ví dụ của:
A. Định thức.
B. Phép biến đổi tuyến tính.
C. Ma trận nghịch đảo.
D. Hệ phương trình tuyến tính.
13. Nếu ma trận A là ma trận vuông cấp n và khả nghịch, thì ma trận nghịch đảo của ma trận chuyển vị Aᵀ là:
A. (A⁻¹)ᵀ.
B. (Aᵀ)⁻¹.
C. A⁻¹.
D. Aᵀ.
14. Vectơ riêng của ma trận A là vectơ khác không v sao cho:
A. Av = 0.
B. Av = v.
C. Av = λv với λ là một số vô hướng.
D. Av = A⁻¹v.
15. Cho ma trận A và B cùng cấp. Phát biểu nào sau đây về phép nhân ma trận là đúng?
A. AB luôn bằng BA.
B. Nếu AB = 0 thì A = 0 hoặc B = 0.
C. Phép nhân ma trận có tính kết hợp: (AB)C = A(BC).
D. Phép nhân ma trận có tính giao hoán.
16. Phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận KHÔNG bao gồm phép nào sau đây?
A. Hoán đổi hai hàng.
B. Nhân một hàng với một số khác 0.
C. Cộng một bội của một hàng vào hàng khác.
D. Hoán đổi hai cột.
17. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, với A là ma trận vuông cấp n. Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi:
A. det(A) ≠ 0.
B. rank(A) = n.
C. det(A) = 0.
D. rank(A) = n - 1 luôn đúng.
18. Trong không gian vectơ P₂[x] (không gian đa thức bậc không quá 2), tập hợp nào sau đây là cơ sở?
A. {1, x²}.
B. {1, x, x²}.
C. {1 + x, 1 - x, x²}.
D. {1, x, x², 1 + x}.
19. Phương pháp khử Gauss được sử dụng để:
A. Tính định thức của ma trận.
B. Tìm ma trận nghịch đảo.
C. Giải hệ phương trình tuyến tính.
D. Tất cả các đáp án trên.
20. Chiều của không gian vectơ Rⁿ là:
21. Phép biến đổi tuyến tính T: R² → R³ được biểu diễn bởi ma trận A kích thước:
A. 2x2.
B. 3x3.
C. 2x3.
D. 3x2.
22. Cho không gian vectơ V và không gian con W của V. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?
A. dim(W) > dim(V).
B. dim(W) = dim(V).
C. dim(W) ≤ dim(V).
D. dim(W) = 0 luôn đúng.
23. Trong không gian R³, vectơ nào sau đây trực giao với cả hai vectơ u = (1, 0, -1) và v = (0, 1, 1)?
A. (1, 1, 1).
B. (1, -1, 1).
C. (1, 1, -1).
D. (-1, -1, 1).
24. Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch, thì (AB)⁻¹ bằng:
A. A⁻¹B⁻¹.
B. B⁻¹A⁻¹.
C. AB⁻¹.
D. BA⁻¹.
25. Cho ma trận A = [[2, -1], [4, k]]. Giá trị của k để ma trận A không khả nghịch là:
A. k = -2.
B. k = 2.
C. k = 0.
D. k = -0.5.
26. Cho ma trận vuông A. Tổng các trị riêng của A (tính cả bội) bằng:
A. Định thức của A.
B. Vết của A (tr(A)).
C. Hạng của A.
D. 0.
27. Hai vectơ u và v được gọi là trực giao nếu:
A. Chúng cùng phương.
B. Tích vô hướng của chúng bằng 1.
C. Tích vô hướng của chúng bằng 0.
D. Chúng có độ dài bằng nhau.
28. Cho ma trận A kích thước m x n. Hạng của ma trận A (rank(A)) là:
A. Số cột của A.
B. Số hàng của A.
C. Số chiều của không gian cột của A.
D. Số chiều của không gian nghiệm của AX = 0.
29. Không gian sinh bởi tập hợp các vectơ S = {v₁, v₂, ..., vk} được ký hiệu là span(S). span(S) là:
A. Tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong S.
B. Tập hợp các vectơ trong S.
C. Tập hợp các vectơ trực giao với các vectơ trong S.
D. Tập hợp các vectơ đơn vị.
30. Nếu λ là trị riêng của ma trận A, thì 2λ là trị riêng của ma trận:
A. A².
B. 2A.
C. A + 2I.
D. A - 2I.
