1. Cho tam giác $ABC$. $D$ là điểm trên $AB$ sao cho $AD = \frac{1}{3} AB$. $E$ là điểm trên $AC$ sao cho $AE = \frac{1}{3} AC$. Chứng minh rằng $DE \parallel BC$. Đây là ứng dụng của định lý nào?
A. Định lý Pitago.
B. Định lý Thales.
C. Định lý về đường trung bình.
D. Định lý về hai tam giác đồng dạng.
2. Định lý Thales trong tam giác phát biểu rằng nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại, thì nó chia hai cạnh đó theo tỉ lệ như thế nào?
A. Chia hai cạnh đó thành các đoạn thẳng bằng nhau.
B. Chia hai cạnh đó theo cùng một tỉ lệ.
C. Chia hai cạnh đó thành các đoạn thẳng tỉ lệ với bình phương độ dài cạnh thứ ba.
D. Chia hai cạnh đó thành các đoạn thẳng tỉ lệ với bình phương độ dài hai cạnh còn lại.
3. Định lý Thales được áp dụng khi nào trong một tam giác?
A. Khi có một đường trung tuyến.
B. Khi có một đường cao.
C. Khi có một đường thẳng song song với một cạnh và cắt hai cạnh còn lại.
D. Khi có ba đường phân giác đồng quy.
4. Cho tam giác $ABC$, $D$ trên $AB$ và $E$ trên $AC$ sao cho $DE \parallel BC$. Nếu $AD = 2x$, $DB = x$, $AE = 4$, thì $EC$ bằng bao nhiêu?
A. $2x$
B. $4$
C. $2$
D. $8/x$
5. Trong tam giác $MNP$, điểm $Q$ nằm trên $MN$ và điểm $R$ nằm trên $MP$. Nếu $QR \parallel NP$ và $\frac{MQ}{MN} = \frac{2}{5}$, thì tỉ lệ $\frac{MR}{MP}$ bằng bao nhiêu?
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{5}{2}$
6. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác $ABC$ tại $M$ và $N$ ($M$ trên $AB$, $N$ trên $AC$) và tạo ra các tỉ lệ $\frac{AM}{MB} = \frac{3}{2}$ và $\frac{AN}{NC} = \frac{3}{2}$, thì đường thẳng $MN$ có quan hệ gì với $BC$?
A. $MN \parallel BC$
B. $MN \perp BC$
C. $MN$ là đường trung bình.
D. $MN$ không song song với $BC$
7. Trong một tam giác, nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh thì đường thẳng đó song song với cạnh thứ ba và bằng bao nhiêu độ dài cạnh thứ ba?
A. Bằng cạnh thứ ba.
B. Bằng một nửa cạnh thứ ba.
C. Bằng hai lần cạnh thứ ba.
D. Không có quan hệ gì với cạnh thứ ba.
8. Cho tam giác $ABC$, điểm $D$ trên $AB$ và $E$ trên $AC$. Nếu $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$, thì đường thẳng $DE$ có quan hệ như thế nào với $BC$?
A. $DE \perp BC$
B. $DE \parallel BC$
C. $DE$ cắt $BC$
D. $DE$ trùng với $BC$
9. Cho tam giác $ABC$ có $AB=AC$. Điểm $D$ trên $AB$, $E$ trên $AC$ sao cho $DE \parallel BC$. Nếu $AD = 3$ và $DB = 2$, thì tỉ số $\frac{AE}{EC}$ là bao nhiêu?
A. 1
B. 3/2
C. 2/3
D. 5/2
10. Cho tam giác $ABC$, $D$ là điểm trên $AB$, $E$ là điểm trên $AC$. Biết $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$ và $DE \parallel BC$. Nếu $BC = 9$ cm, thì độ dài $DE$ là bao nhiêu?
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 6 cm
11. Nếu trong tam giác $ABC$, đường thẳng $MN$ với $M$ trên $AB$, $N$ trên $AC$ song song với $BC$ và $AM = 4, MB = 2, AC = 9$, thì độ dài $AN$ là bao nhiêu?
12. Cho tam giác $ABC$. Lấy điểm $D$ trên $AB$ và điểm $E$ trên $AC$ sao cho $DE \parallel BC$. Nếu $AD = 2$, $AB = 6$, $AC = 9$, hỏi độ dài $AE$ là bao nhiêu?
13. Trong tam giác $ABC$, $D$ là điểm trên $AB$, $E$ là điểm trên $AC$. Biết $AD = 4$, $DB = 2$, $AE = 6$. Để $DE \parallel BC$, độ dài $EC$ phải bằng bao nhiêu?
14. Cho tam giác $XYZ$ với đường thẳng song song với $YZ$ cắt $XY$ tại $P$ và $XZ$ tại $Q$. Nếu $XP = 5$, $PY = 10$, $XQ = 4$, thì độ dài $QZ$ là bao nhiêu?
15. Cho tam giác $ABC$ và một điểm $D$ trên cạnh $AB$, điểm $E$ trên cạnh $AC$ sao cho $DE \parallel BC$. Nếu $AD = 3$ cm, $DB = 6$ cm và $AE = 4$ cm, hỏi độ dài $EC$ là bao nhiêu?
A. 8 cm
B. 12 cm
C. 6 cm
D. 9 cm
