1. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (n=0 đến vô cùng) (x∕2)ⁿ là:
A. (-2, 2)
B. [-2, 2]
C. (-1, 1)
D. [-1, 1]
2. Cho hàm số f(x) = |x|. Hàm số này:
A. Khả vi tại x = 0
B. Liên tục nhưng không khả vi tại x = 0
C. Không liên tục tại x = 0
D. Vừa không liên tục vừa không khả vi tại x = 0
3. Phương trình vi phân y′' + 4y′ + 4y = 0 có nghiệm tổng quát dạng nào?
A. y = C1*e²ˣ + C2*x*e²ˣ
B. y = C1*e⁻²ˣ + C2*e²ˣ
C. y = C1*e⁻²ˣ + C2*x*e⁻²ˣ
D. y = C1*cos(2x) + C2*sin(2x)
4. Phép biến đổi Fourier của hàm số f(t) = δ(t) (hàm Dirac delta) là:
5. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) = eᵃᵗ là:
A. 1∕(s-a)
B. 1∕(s+a)
C. a∕(s-a)
D. a∕(s+a)
6. Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên:
A. Nhận giá trị trong một khoảng liên tục
B. Nhận một số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị
C. Luôn nhận giá trị dương
D. Luôn nhận giá trị nguyên
7. Trong không gian vectơ R³, tập hợp các vectơ {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)} là:
A. Độc lập tuyến tính
B. Phụ thuộc tuyến tính
C. Cơ sở của R³
D. Không phải là không gian vectơ
8. Phương pháp số nào sau đây thường được sử dụng để giải gần đúng phương trình vi phân thường?
A. Phương pháp Gauss-Seidel
B. Phương pháp Newton-Raphson
C. Phương pháp Euler
D. Phương pháp Jacobi
9. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y′' - 3y′ + 2y = eˣ có dạng:
A. Aeˣ
B. Axeˣ
C. Ax²eˣ
D. A∕eˣ
10. Hạng của ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]] là:
11. Định thức của ma trận A = [[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]] bằng bao nhiêu?
12. Tích phân bất định của hàm số f(x) = cos(x) là hàm số nào sau đây?
A. -sin(x) + C
B. sin(x) + C
C. -cos(x) + C
D. cos(x) + C
13. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds, với f(x, y) = x + y và C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1) có giá trị là:
14. Giá trị riêng của ma trận A = [[2, 0], [0, 3]] là:
A. 2 và 3
B. 0 và 1
C. 2 và 0
D. 3 và 0
15. Trong không gian R³, tích vô hướng của hai vectơ u = (1, 2, 3) và v = (-1, 0, 1) là:
16. Chuỗi Taylor của hàm số f(x) = eˣ tại x = 0 là:
A. ∑ (n=0 đến vô cùng) xⁿ∕n!
B. ∑ (n=0 đến vô cùng) xⁿ
C. ∑ (n=1 đến vô cùng) xⁿ∕n!
D. ∑ (n=1 đến vô cùng) (-1)ⁿ × xⁿ∕n!
17. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² và y = x.
A. 1∕6
B. 1∕3
C. 1∕2
D. 2∕3
18. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần và đủ để một trường vectơ F là trường bảo toàn?
A. rot(F) = 0
B. div(F) = 0
C. grad(F) = 0
D. Laplace(F) = 0
19. Giới hạn của hàm số limₓ→₀ sin(x)∕x bằng:
A. 0
B. 1
C. ∞
D. Không tồn tại
20. Ma trận nào sau đây là ma trận đơn vị?
A. [[1, 0], [0, 0]]
B. [[1, 1], [0, 1]]
C. [[1, 0], [0, 1]]
D. [[0, 1], [1, 0]]
21. Đạo hàm của hàm số f(x) = x³ - 2x² + 5x - 7 tại điểm x = 2 là bao nhiêu?
22. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x - y + 3z = 5?
A. (2, -1, 3)
B. (2, 1, 3)
C. (1, -1, 3)
D. (2, -1, 5)
23. Giải phương trình vi phân tách biến dy∕dx = y∕x, với điều kiện ban đầu y(1) = 2. Giá trị của y(2) là:
24. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi y = x², y = 0, x = 1 quanh trục Ox là:
A. π∕5
B. π∕3
C. π∕2
D. π
25. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x² + y² dưới điều kiện ràng buộc x + y = 1.
A. Cực tiểu tại (1∕2, 1∕2)
B. Cực đại tại (1∕2, 1∕2)
C. Không có cực trị
D. Vừa cực đại vừa cực tiểu
26. Trong giải tích phức, tích phân đường của hàm f(z) = 1∕z trên đường tròn đơn vị |z| = 1 theo chiều dương là:
27. Chuỗi số nào sau đây hội tụ?
A. Tổng (n=1 đến vô cùng) 1∕n
B. Tổng (n=1 đến vô cùng) 1∕n²
C. Tổng (n=1 đến vô cùng) n
D. Tổng (n=1 đến vô cùng) 2ⁿ
28. Tích phân suy rộng ∫_1^∞ 1∕xᵖ dx hội tụ khi và chỉ khi:
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
29. Hàm số f(x, y) = x² + y² - 2x - 4y đạt cực tiểu tại điểm nào?
A. (1, 2)
B. (0, 0)
C. (-1, -2)
D. (2, 4)
30. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = xy² + x³y theo biến x là:
A. y² + 3x²y
B. 2xy + x³
C. y² + y
D. 2xy + 3x²y
