1. Trong lý thuyết số, số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 có tính chất gì?
A. Chỉ chia hết cho 1 và chính nó
B. Chia hết cho ít nhất một số nguyên tố nhỏ hơn
C. Là tích của hai số tự nhiên lớn hơn 1
D. Chia hết cho mọi số tự nhiên nhỏ hơn nó
2. Trong tối ưu hóa, điều kiện KKT (Karush-Kuhn-Tucker) là điều kiện cần để tìm nghiệm tối ưu cho bài toán nào?
A. Bài toán tối ưu hóa không ràng buộc
B. Bài toán tối ưu hóa tuyến tính
C. Bài toán tối ưu hóa có ràng buộc
D. Bài toán quy hoạch động
3. Trong lý thuyết điều khiển, hệ thống được gọi là ổn định BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) nếu điều gì xảy ra?
A. Đầu vào bị chặn luôn tạo ra đầu ra không bị chặn
B. Đầu vào không bị chặn luôn tạo ra đầu ra bị chặn
C. Đầu vào bị chặn luôn tạo ra đầu ra bị chặn
D. Đầu vào không bị chặn luôn tạo ra đầu ra không bị chặn
4. Xét tích phân suy rộng loại 1: ∫(từ a đến ∞) f(x) dx. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo sự hội tụ của tích phân này?
A. f(x) ≥ 0 và ∫(từ a đến ∞) f(x) dx bị chặn trên
B. |f(x)| ≤ g(x) và ∫(từ a đến ∞) g(x) dx hội tụ
C. limₓ→∞ f(x) = 0
D. ∫(từ a đến ∞) |f(x)| dx hội tụ
5. Trong giải tích Fourier, chuỗi Fourier của một hàm số tuần hoàn f(x) biểu diễn hàm số đó như thế nào?
A. Tổng của các hàm đa thức
B. Tổng của các hàm số mũ
C. Tổng của các hàm sin và cosin
D. Tích của các hàm sin và cosin
6. Hàm số f(x) được gọi là liên tục đều trên khoảng I nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho điều gì xảy ra?
A. Với mọi x, y ∈ I, nếu |x - y| < δ thì |f(x) - f(y)| < ε
B. Với mọi x ∈ I, tồn tại δ > 0 sao cho nếu |x - y| < δ thì |f(x) - f(y)| < ε
C. Với mọi y ∈ I, tồn tại δ > 0 sao cho nếu |x - y| < δ thì |f(x) - f(y)| < ε
D. Với mọi x, y ∈ I, nếu |f(x) - f(y)| < δ thì |x - y| < ε
7. Phép biến đổi Z được sử dụng chủ yếu trong lĩnh vực nào của toán học ứng dụng?
A. Giải tích số
B. Xử lý tín hiệu số
C. Thống kê toán
D. Hình học vi phân
8. Cho ánh xạ tuyến tính T: V → W. Hạt nhân (kernel) của T, ký hiệu ker(T), là tập hợp nào?
A. {v ∈ V | T(v) = 0W}
B. {w ∈ W | T(v) = w với mọi v ∈ V}
C. {v ∈ V | T(v) ≠ 0W}
D. {w ∈ W | T(v) = w với ít nhất một v ∈ V}
9. Trong không gian Hilbert, tích vô hướng của hai vector x và y, ký hiệu , có tính chất nào sau đây?
A. =
B. = -
C. = сопряжение phức (trong trường số phức)
D. = -
10. Cho hàm số f(x, y) = x² + y² - 2x - 4y + 5. Điểm dừng của hàm số này là điểm nào?
A. (1, 2)
B. (-1, -2)
C. (2, 4)
D. (-2, -4)
11. Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM) thường được sử dụng để giải loại bài toán nào?
A. Phương trình đại số tuyến tính
B. Phương trình vi phân đạo hàm riêng
C. Bài toán tối ưu hóa tuyến tính
D. Bài toán xác suất thống kê
12. Trong giải tích phức, tích phân đường cong ∫_C f(z) dz, với C là đường cong kín và f(z) là hàm giải tích bên trong và trên C, bằng bao nhiêu?
A. 2πi × f(z₀), với z₀ là điểm kỳ dị bên trong C
B. 0
C. ∞
D. Phụ thuộc vào hình dạng đường cong C
13. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) = eᵃᵗ là gì (với s > a)?
A. 1∕(s-a)
B. 1∕(s+a)
C. a∕(s-a)
D. a∕(s+a)
14. Trong không gian vector, cơ sở của một không gian con là tập hợp các vector như thế nào?
A. Phụ thuộc tuyến tính và sinh ra không gian con đó
B. Độc lập tuyến tính và không sinh ra không gian con đó
C. Độc lập tuyến tính và sinh ra không gian con đó
D. Phụ thuộc tuyến tính và không sinh ra không gian con đó
15. Trong lý thuyết nhóm, một nhóm Abel (Abelian group) là nhóm như thế nào?
A. Phép toán trong nhóm không giao hoán
B. Mọi phần tử đều có phần tử nghịch đảo
C. Phép toán trong nhóm giao hoán
D. Chỉ chứa phần tử đơn vị
16. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó như thế nào?
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. det(A) = 1
D. det(A) = -1
17. Trong phương pháp Monte Carlo, kỹ thuật này dựa trên việc sử dụng yếu tố nào để giải quyết bài toán?
A. Giải tích chính xác
B. Ngẫu nhiên và thống kê
C. Đại số tuyến tính
D. Phương trình vi phân
18. Điều kiện cần và đủ để một trường vector F là trường vector bảo toàn (conservative vector field) trên một miền liên thông D là gì?
A. curl F = 0
B. div F = 0
C. ∫_C F · dr phụ thuộc vào đường đi C
D. grad f = F với một hàm vô hướng f nào đó
19. Trong lý thuyết đồ thị, bậc của một đỉnh trong đồ thị vô hướng là gì?
A. Số đỉnh kề với đỉnh đó
B. Số cạnh liên thuộc với đỉnh đó
C. Tổng trọng số của các cạnh liên thuộc với đỉnh đó
D. Số đường đi ngắn nhất từ đỉnh đó đến các đỉnh khác
20. Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập khi nào?
A. Khi E[XY] = E[X]E[Y]
B. Khi Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)
C. Khi P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(X ≤ x)P(Y ≤ y) với mọi x, y
D. Khi Cov(X, Y) ≠ 0
21. Trong không gian metric (X, d), một dãy Cauchy là dãy như thế nào?
A. Dãy hội tụ về một điểm trong X
B. Dãy bị chặn
C. Với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho với mọi m, n > N, d(xₘ, xₙ) < ε
D. Dãy đơn điệu và bị chặn
22. Tìm giới hạn của dãy số aₙ = (n² + 1) ∕ (2n² - n + 3) khi n → ∞.
23. Cho hàm f(x) = |x|. Hàm số này có đạo hàm tại x = 0 không?
A. Có, và f′(0) = 0
B. Có, và f′(0) = 1
C. Có, và f′(0) = -1
D. Không có đạo hàm tại x = 0
24. Trong không gian vector R³, cho hai vector u = (1, 2, -1) và v = (0, 1, 3). Tìm vector tích có hướng của u và v (u x v).
A. (7, -3, 1)
B. (-7, -3, 1)
C. (7, 3, 1)
D. (-7, 3, -1)
25. Trong hình học vi phân, độ cong Gauss của một mặt tại một điểm đo lường điều gì?
A. Độ cong trung bình của mặt
B. Độ cong của đường cong giao tuyến với mặt
C. Tích của hai độ cong chính tại điểm đó
D. Tổng của hai độ cong chính tại điểm đó
26. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất?
A. y′' + 3y′ + 2y = sin(x)
B. y′' + 3y′ + 2y = 0
C. y′' + 3y′² + 2y = 0
D. y′' + 3y′ + 2y + y² = 0
27. Chuỗi số ∑(từ n=1 đến ∞) aₙ hội tụ tuyệt đối khi nào?
A. Khi chuỗi ∑(từ n=1 đến ∞) aₙ hội tụ
B. Khi chuỗi ∑(từ n=1 đến ∞) |aₙ| hội tụ
C. Khi limₙ→∞ aₙ = 0
D. Khi chuỗi ∑(từ n=1 đến ∞) aₙ² hội tụ
28. Định lý Green liên hệ tích phân đường với tích phân gì?
A. Tích phân mặt
B. Tích phân bội hai
C. Tích phân bội ba
D. Tích phân suy rộng
29. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp fₓy và fyₓ của một hàm số f(x, y) liên tục tại một điểm là như thế nào?
A. fₓy luôn lớn hơn fyₓ
B. fₓy luôn nhỏ hơn fyₓ
C. fₓy luôn bằng fyₓ
D. Không có mối quan hệ cụ thể
30. Trong giải tích hàm, không gian Banach là một không gian vector định chuẩn như thế nào?
A. Không gian hữu hạn chiều
B. Không gian đầy đủ
C. Không gian tách được
D. Không gian phản xạ
