Đề 10 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Toán cao cấp

Tích có hướng (cross product) của hai vector u và v trong R³ luôn tạo ra một vector mới vuông góc (orthogonal) với cả u và v. Hướng của nó tuân theo quy tắc bàn tay phải.

Định thức của ma trận vuông cấp 2 (hoặc cấp n) có ý nghĩa hình học quan trọng. Với ma trận cấp 2, giá trị tuyệt đối của định thức chính là diện tích của hình bình hành được tạo thành từ các vector cột (hoặc vector hàng) của ma trận đó.

Điều kiện Cauchy-Riemann là một cặp phương trình đạo hàm riêng phải được thỏa mãn bởi phần thực và phần ảo của một hàm số phức để hàm số đó khả vi phức (complex differentiable) tại một điểm, hay còn gọi là chỉnh hình (holomorphic). Thực tế, nó là điều kiện cần, và thêm điều kiện liên tục của các đạo hàm riêng thì trở thành điều kiện cần và đủ trong nhiều trường hợp.

Định lý Stokes tổng quát hóa định lý Green từ không gian hai chiều (mặt phẳng) lên không gian chiều cao hơn. Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes áp dụng cho miền phẳng và đường biên của nó.

Phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange multipliers) là một kỹ thuật trong giải tích toán học để tìm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) của một hàm số nhiều biến khi có các ràng buộc (constraints) dưới dạng phương trình. Nó chuyển bài toán cực trị có điều kiện thành bài toán tìm điểm dừng của hàm Lagrange.

Biến đổi Z (Z-transform) là một công cụ toán học quan trọng trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số và hệ thống điều khiển rời rạc thời gian. Nó là phiên bản rời rạc của biến đổi Laplace và được sử dụng để phân tích, thiết kế và giải các bài toán liên quan đến hệ thống rời rạc thời gian, như bộ lọc số, hệ thống điều khiển số, v.v.

Giá trị riêng (eigenvalue) λ của ma trận A được xác định là nghiệm của phương trình đặc trưng det(A - λI) = 0, trong đó I là ma trận đơn vị.

Tính khả vi tại một điểm là điều kiện mạnh hơn tính liên tục. Một hàm số khả vi tại x=a thì liên tục tại x=a, nhưng điều ngược lại không đúng. Liên tục tại x=a đòi hỏi 3 điều: f(a) xác định, limₓ→ₐ f(x) tồn tại, và hai giá trị này bằng nhau.

Hạng (rank) của một ma trận là số chiều của không gian cột (column space) hoặc không gian hàng (row space) của ma trận. Hai số chiều này luôn bằng nhau. Hạng biểu thị số lượng cột (hoặc hàng) độc lập tuyến tính tối đa của ma trận.

Phép biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Transform - DFT) là một công cụ quan trọng trong xử lý tín hiệu số. Nó phân tích một tín hiệu rời rạc (dãy số) trong miền thời gian thành các thành phần tần số khác nhau, giúp hiểu rõ cấu trúc tần số của tín hiệu.

Theo định nghĩa, biến đổi Laplace L{f(t)}(s) = ∫_0^∞ e⁻ˢᵗf(t) dt. Với f(t) = 1, ta có L{1}(s) = ∫_0^∞ e⁻ˢᵗ dt = [-1∕s × e⁻ˢᵗ]₀^∞ = 0 - (-1∕s) = 1∕s (với Re(s) > 0).

Ta biết rằng đạo hàm của sin(u) là cos(u) × u′. Để có cos(2x), ta cần hàm sin(2x) và chia cho đạo hàm của 2x, là 2. Vậy tích phân là sin(2x) ∕ 2 + C.

Một không gian vector con (subspace) của một không gian vector V là một tập con W của V sao cho W cũng là một không gian vector dưới các phép toán cộng vector và nhân với số vô hướng được định nghĩa trong V. Điều kiện chính là tính đóng: nếu u, v thuộc W và c là số vô hướng, thì u+v và cu cũng phải thuộc W.

Phép biến đổi Wavelet (Wavelet transform) là một công cụ mạnh mẽ trong xử lý tín hiệu và ảnh. Nó cho phép phân tích tín hiệu hoặc ảnh ở nhiều độ phân giải khác nhau, giúp phát hiện các đặc trưng cục bộ và đa tần số, được ứng dụng rộng rãi trong nén ảnh, lọc nhiễu, phân tích tín hiệu y sinh, v.v.

Đây là chuỗi p (p-series). Chuỗi p hội tụ khi và chỉ khi p > 1. Đây là một kết quả cơ bản trong lý thuyết chuỗi số.

Điểm kỳ dị cô lập của một hàm số phức là điểm mà hàm số không chỉnh hình (không khả vi phức) tại đó, nhưng chỉnh hình trong một vùng lân cận `xung quanh′ điểm đó (trừ chính điểm đó). Một trong các loại điểm kỳ dị cô lập là điểm khử được, tại đó giới hạn của hàm tồn tại.

Trong bài toán tối ưu hóa (optimization), hàm mục tiêu (objective function) là hàm số mà chúng ta muốn tối thiểu hóa (minimize) hoặc tối đa hóa (maximize). Mục tiêu là tìm giá trị đầu vào (biến quyết định) sao cho hàm mục tiêu đạt giá trị tốt nhất trong các ràng buộc cho phép.

Trong giải tích tensor, một tensor hạng (0, 2) trên một không gian vector V là một ánh xạ song tuyến tính từ V x V vào trường số thực (hoặc trường số phức). Dạng song tuyến tính là một khái niệm tương đương, thường được sử dụng trong các ngữ cảnh khác nhau nhưng về bản chất toán học là tensor hạng (0, 2).

Trong lý thuyết đồ thị (graph theory), bậc (degree) của một đỉnh (vertex) trong đồ thị vô hướng là số cạnh (edges) liên thuộc (incident) với đỉnh đó. Nói cách khác, đó là số `kết nối′ mà đỉnh đó có với các đỉnh khác.

Không gian Banach là một khái niệm quan trọng trong giải tích hàm. Nó là một không gian vector định chuẩn (normed vector space) mà đồng thời là đầy đủ (complete) dưới metric cảm sinh bởi chuẩn. Tính đầy đủ nghĩa là mọi dãy Cauchy trong không gian đều hội tụ đến một điểm trong không gian đó.

Trong không gian metric, một dãy Cauchy là dãy mà các phần tử của nó trở nên `gần nhau tùy ý` khi chỉ số của chúng đủ lớn. Chính xác hơn, với mọi khoảng cách ε > 0, tồn tại một chỉ số N sao cho khoảng cách giữa bất kỳ hai phần tử xₘ, xₙ với m, n > N nhỏ hơn ε.

Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds tính tổng các giá trị của hàm f(x, y) trên đường cong C, nhân với một `độ dài nhỏ` ds dọc theo đường cong, tức là tích phân theo độ dài cung.

Đạo hàm riêng theo x: ∂f∕∂x = 3x²y². Đạo hàm riêng cấp hai theo y của kết quả trên: ∂^2f∕(∂y∂x) = ∂∕∂y (3x²y²) = 6x²y.

Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes trong mặt phẳng. Nó liên hệ tích phân đường của một trường vector dọc theo một đường cong kín C trong mặt phẳng với tích phân kép của độ xoáy của trường vector trên miền D được bao bởi C.

Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông khả nghịch (có ma trận nghịch đảo) là định thức của nó khác không.

Phương pháp Newton-Raphson là một phương pháp lặp (iterative method) để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0. Nó sử dụng đạo hàm của hàm số để tạo ra một dãy các giá trị xₙ hội tụ về nghiệm thực của phương trình (nếu có).

Biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable) là biến ngẫu nhiên mà tập hợp các giá trị có thể nhận của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được (countable). Ví dụ: số lần tung được mặt ngửa khi tung đồng xu 10 lần, số khách hàng đến cửa hàng trong một giờ (là số nguyên không âm).

Phương trình đặc trưng là r² + 4r + 4 = (r + 2)² = 0. Nghiệm kép r = -2. Do đó, nghiệm tổng quát có dạng y = (C1 + C2x)e⁻²ˣ.

Chuỗi Fourier phân tích một hàm số tuần hoàn thành tổng vô hạn của các hàm sin và cos với các tần số khác nhau, nhân với các hệ số Fourier tương ứng.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (ln(u))′ = u′∕u, với u = x² + 1, ta có u′ = 2x. Do đó, đạo hàm là (2x) ∕ (x² + 1).