1. Để tìm cực trị của hàm số f(x, y) với điều kiện ràng buộc g(x, y) = 0, phương pháp nào sau đây thường được sử dụng?
A. Phương pháp đạo hàm riêng
B. Phương pháp nhân tử Lagrange
C. Phương pháp thế
D. Phương pháp Jacobi
2. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Các giá trị làm cho det(A - λI) = 0
B. Các giá trị làm cho det(A) = 0
C. Các giá trị trên đường chéo chính của A
D. Các vectơ thỏa mãn Av = λv
3. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Véctơ gradient của f tại điểm (1, 1) là:
A. (2e^2, 2e^2)
B. (e^2, e^2)
C. (2e, 2e)
D. (e, e)
4. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng?
A. y'' + xy' + y = 0
B. y'' + (y')^2 + y = 0
C. y'' + 2y' - 3y = sin(x)
D. y'' + y'y = e^x
5. Định thức của ma trận chuyển vị (A^T) bằng:
A. -det(A)
B. det(A)
C. det(A)^T
D. 1/det(A)
6. Tích phân ∫∫_D dA, với D là miền giới hạn bởi đường tròn x^2 + y^2 = R^2, biểu diễn:
A. Chu vi đường tròn
B. Diện tích hình tròn
C. Thể tích hình cầu
D. Bán kính đường tròn
7. Trong phép tích phân bội hai, đổi thứ tự tích phân từ ∫_a^b ∫_c^d f(x, y) dy dx sang ∫_?^? ∫_?^? f(x, y) dx dy, điều gì cần được xem xét?
A. Giá trị của hàm f(x, y)
B. Đạo hàm của hàm f(x, y)
C. Miền lấy tích phân D
D. Tính liên tục của hàm f(x, y)
8. Trong không gian R^3, phương trình x^2 + y^2 - z^2 = 1 biểu diễn hình gì?
A. Mặt paraboloid elliptic
B. Mặt hyperboloid một tầng
C. Mặt hyperboloid hai tầng
D. Mặt nón elliptic
9. Trong phép chiếu trực giao lên một không gian con W, vectơ chiếu của vectơ v lên W là:
A. Vectơ thuộc không gian con W vuông góc với v
B. Vectơ thuộc không gian con W gần v nhất
C. Vectơ bằng v
D. Vectơ vuông góc với v
10. Phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận bao gồm:
A. Hoán đổi hai cột
B. Nhân một hàng với một số khác 0
C. Cộng một cột vào cột khác
D. Chuyển vị ma trận
11. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds được tính bằng công thức nào, với C là đường cong tham số hóa bởi r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b?
A. ∫_a^b f(x(t), y(t)) dt
B. ∫_a^b f(x(t), y(t)) ||r'(t)|| dt
C. ∫_a^b f(x'(t), y'(t)) ||r(t)|| dt
D. ∫_a^b f(x'(t), y'(t)) dt
12. Cho ma trận A kích thước m x n và ma trận B kích thước p x q. Khi nào tích ma trận AB được xác định?
A. m = p
B. n = q
C. n = p
D. m = q
13. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi:
A. det(A) ≠ 0
B. det(A) = 0
C. A là ma trận đường chéo
D. A là ma trận đơn vị
14. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0. Hệ có nghiệm không tầm thường khi nào?
A. det(A) ≠ 0
B. det(A) = 0
C. A là ma trận vuông
D. A là ma trận đường chéo
15. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính y' + p(x)y = q(x) được tìm bằng phương pháp:
A. Biến phân tham số
B. Hệ số bất định
C. Thừa số tích phân
D. Tách biến số
16. Đạo hàm của hàm vectơ r(t) = (cos(t), sin(t), t) là:
A. (-sin(t), cos(t), 1)
B. (sin(t), -cos(t), 1)
C. (-cos(t), -sin(t), 1)
D. (cos(t), sin(t), 0)
17. Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của không gian vectơ?
A. Phép cộng có tính giao hoán
B. Phép nhân có tính kết hợp
C. Tồn tại phần tử đơn vị đối với phép nhân
D. Tồn tại phần tử nghịch đảo đối với phép cộng
18. Công thức nào sau đây biểu diễn định lý Green trong mặt phẳng?
A. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
B. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂P/∂x + ∂Q/∂y) dA
C. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂P/∂y - ∂Q/∂x) dA
D. ∫_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂Q/∂y - ∂P/∂x) dA
19. Tích phân mặt loại 2 ∫∫_S F · dS được sử dụng để tính:
A. Diện tích bề mặt S
B. Thể tích khối giới hạn bởi S
C. Thông lượng của trường vectơ F qua S
D. Độ dài đường cong trên S
20. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. (-1, 0) và (0, -1)
21. Trong không gian R^n, tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính tối đa tạo thành:
A. Không gian con
B. Cơ sở của R^n
C. Không gian sinh
D. Hệ sinh
22. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp f_xy và f_yx của hàm số f(x, y) bằng nhau khi nào?
A. Hàm f(x, y) liên tục
B. Đạo hàm riêng f_x và f_y liên tục
C. Đạo hàm riêng f_xy và f_yx liên tục
D. Hàm f(x, y) khả vi
23. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y'' - y = e^x có dạng nào?
A. Ae^x
B. Axe^x
C. Ax^2e^x
D. A + Be^x
24. Giá trị của tích phân đường kín ∫_C (x^2 - y^2) dx + (2xy) dy, với C là đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ, là:
25. Cho trường vectơ F = (P, Q). Khi nào trường vectơ F là trường bảo toàn?
A. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
B. ∂P/∂y = ∂Q/∂x
C. ∂P/∂x = -∂Q/∂y
D. ∂P/∂y = -∂Q/∂x
26. Cho phương trình vi phân y'' + 4y' + 4y = 0. Nghiệm tổng quát của phương trình là:
A. y = C1e^(2x) + C2e^(-2x)
B. y = C1e^(-2x) + C2xe^(-2x)
C. y = C1cos(2x) + C2sin(2x)
D. y = C1e^(2ix) + C2e^(-2ix)
27. Chuỗi Fourier của hàm số tuần hoàn f(x) với chu kỳ 2π hội tụ về:
A. f(x) tại mọi điểm
B. Giá trị trung bình của f(x) tại điểm gián đoạn
C. f(x) tại điểm liên tục và 0 tại điểm gián đoạn
D. 0 tại mọi điểm
28. Tính chất tuyến tính của phép biến đổi Laplace là:
A. L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} - bL{g(t)}
B. L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)}
C. L{af(t)bg(t)} = L{f(t)}L{g(t)}
D. L{f(t)/g(t)} = L{f(t)}/L{g(t)}
29. Trong không gian vectơ R^3, cặp vectơ nào sau đây là trực giao?
A. u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6)
B. u = (1, -1, 0), v = (1, 1, 1)
C. u = (2, 1, -1), v = (1, -1, 1)
D. u = (3, 0, -3), v = (1, 2, 1)
30. Hạng của ma trận A là số chiều của:
A. Không gian nghiệm của hệ AX = 0
B. Không gian hàng của A
C. Không gian cột của A
D. Cả không gian hàng và không gian cột của A
