Trắc nghiệm Toán học 12 Kết nối tri thức bài 16: Công thức tính góc trong không gian

1. Cho hai vectơ $\vec{u} = (1, 2, 3)$ và $\vec{v} = (-2, 1, 0)$. Góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ có giá trị là bao nhiêu?

A. $$30^{\circ}$$

B. $$60^{\circ}$$

C. $$90^{\circ}$$

D. $$120^{\circ}$$

2. Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC. Tính góc giữa hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{MC}$.

A. Phụ thuộc vào loại tam giác ABC.

B. Luôn bằng $90^{\circ}$.

C. Luôn bằng $180^{\circ}$.

D. Luôn bằng $0^{\circ}$.

3. Cho vectơ $\vec{a} = (2, -1, 3)$. Tính góc giữa vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{i}$, trong đó $\vec{i} = (1, 0, 0)$.

A. $$\arccos\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right)$$

B. $$\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)$$

C. $$\arccos\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)$$

D. $$\arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{14}}\right)$$

4. Trong không gian, nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ khác không và $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$, thì góc giữa hai vectơ là:

A. $$0^{\circ}$$

B. $$90^{\circ}$$

C. $$180^{\circ}$$

D. Không xác định được.

5. Cho vectơ $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ và $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$. Công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ là:

A. $$\cos \alpha = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$$

B. $$\cos \alpha = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}$$

C. $$\cos \alpha = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{|\vec{a}| - |\vec{b}|}$$

D. $$\cos \alpha = \frac{|\vec{a}| |\vec{b}|}{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}$$

6. Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ có độ dài lần lượt là 3 và 4. Nếu góc giữa hai vectơ là $120^{\circ}$, tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

A. $$-6$$

B. $$6$$

C. $$-12$$

D. $$12$$

7. Trong không gian, hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là vuông góc với nhau nếu:

A. Góc giữa chúng bằng $0^{\circ}$.

B. Góc giữa chúng bằng $180^{\circ}$.

C. Góc giữa chúng bằng $90^{\circ}$.

D. Tích vô hướng của chúng bằng 1.

8. Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$ và $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$. Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$?

A. $$\frac{\pi}{6}$$

B. $$\frac{\pi}{4}$$

C. $$\frac{\pi}{3}$$

D. $$\frac{\pi}{2}$$

9. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD. Gọi O là tâm của hình hộp. Tính góc giữa hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{DD}$.

A. $$0^{\circ}$$

B. $$45^{\circ}$$

C. $$90^{\circ}$$

D. $$180^{\circ}$$

10. Nếu góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $180^{\circ}$, điều này có nghĩa là gì?

A. Hai vectơ cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

B. Hai vectơ ngược hướng và có độ dài khác nhau.

C. Hai vectơ ngược hướng.

D. Hai vectơ vuông góc với nhau.

11. Trong không gian, cho hai vectơ khác vectơ không $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được tính bằng công thức nào sau đây, trong đó $\alpha$ là góc giữa hai vectơ?

A. $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha$$

B. $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \alpha$$

C. $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{|\vec{a}| |\vec{b}|}{\cos \alpha}$$

D. $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{|\vec{a}| + |\vec{b}|}{2}$$

12. Khi nào thì góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng $0^{\circ}$?

A. Khi $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

B. Khi $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

C. Khi $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc.

D. Khi một trong hai vectơ là vectơ không.

13. Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng $a$. Tính góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{AC}$.

A. $$0^{\circ}$$

B. $$45^{\circ}$$

C. $$90^{\circ}$$

D. $$180^{\circ}$$

14. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng $a$. Tính góc giữa hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

A. $$30^{\circ}$$

B. $$60^{\circ}$$

C. $$90^{\circ}$$

D. $$120^{\circ}$$

15. Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác vectơ không. Nếu $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$, thì góc $\alpha$ giữa hai vectơ thỏa mãn điều kiện nào?

A. $$0^{\circ} \le \alpha \le 90^{\circ}$$

B. $$90^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}$$

C. $$\alpha = 90^{\circ}$$

D. $$\alpha = 0^{\circ}$$