1. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y'' - 3y' + 2y = e^x có dạng nào?
A. Ae^x
B. Axe^x
C. Ax^2e^x
D. A + Be^x
2. Để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi dương, tiêu chuẩn so sánh có thể so sánh chuỗi đã cho với chuỗi nào?
A. Chuỗi có giới hạn tổng riêng bằng 0.
B. Chuỗi điều hòa.
C. Chuỗi hình học hoặc chuỗi p.
D. Chuỗi có các số hạng dương và giảm dần.
3. Chuỗi Fourier của hàm số tuần hoàn f(x) có thể biểu diễn hàm số dưới dạng:
A. Tổng của các hàm đa thức.
B. Tổng của các hàm mũ.
C. Tổng của các hàm lượng giác sin và cosin.
D. Tổng của các hàm logarit.
4. Trong giải tích vectơ, toán tử nabla (∇) được sử dụng để biểu diễn:
A. Độ dài của vectơ.
B. Gradient, divergence và curl.
C. Tích vô hướng của hai vectơ.
D. Tích có hướng của hai vectơ.
5. Đường cong mức của hàm số z = f(x, y) là gì?
A. Tập hợp các điểm (x, y) sao cho f(x, y) = 0.
B. Tập hợp các điểm (x, y) sao cho f(x, y) = c (với c là hằng số).
C. Đồ thị của hàm số z = f(x, y) trong không gian 3D.
D. Tập hợp các điểm dừng của hàm số f(x, y).
6. Ma trận A được gọi là khả nghịch khi nào?
A. Khi định thức của A bằng 0.
B. Khi định thức của A khác 0.
C. Khi tất cả các phần tử của A khác 0.
D. Khi A là ma trận vuông.
7. Phương trình vi phân y'' + 4y' + 4y = 0 là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai loại nào?
A. Thuần nhất, hệ số hằng số, nghiệm thực phân biệt.
B. Thuần nhất, hệ số hằng số, nghiệm thực kép.
C. Không thuần nhất, hệ số hằng số, nghiệm phức liên hợp.
D. Thuần nhất, hệ số biến đổi.
8. Cho hàm số phức f(z). Điều kiện Cauchy-Riemann liên quan đến:
A. Sự liên tục của hàm số f(z).
B. Tính khả vi của hàm số f(z).
C. Sự tồn tại của giới hạn của hàm số f(z).
D. Tính bị chặn của hàm số f(z).
9. Điều kiện nào sau đây là điều kiện đủ để một hàm số f(x, y) đạt cực đại địa phương tại điểm (x0, y0)?
A. f_x(x0, y0) = 0 và f_xx(x0, y0) > 0.
B. f_x(x0, y0) = 0, f_y(x0, y0) = 0 và Δ = f_xx f_yy - (f_xy)^2 > 0 và f_xx < 0 tại (x0, y0).
C. f_x(x0, y0) = 0, f_y(x0, y0) = 0 và Δ = f_xx f_yy - (f_xy)^2 > 0 và f_xx > 0 tại (x0, y0).
D. f_x(x0, y0) = 0 và f_xx(x0, y0) < 0.
10. Tính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ c_n (x - a)^n được xác định bởi:
A. Bán kính hội tụ R.
B. Miền xác định của hàm số.
C. Tổng của chuỗi.
D. Các hệ số c_n.
11. Trong hệ tọa độ trụ (r, θ, z), yếu tố thể tích dV được biểu diễn là:
A. r dr dθ dz
B. r^2 sin(φ) dr dθ dφ
C. dr dθ dz
D. r^2 dr dθ dz
12. Hạng của ma trận được định nghĩa là:
A. Số cột của ma trận.
B. Số dòng của ma trận.
C. Số chiều của không gian cột (hoặc không gian dòng) của ma trận.
D. Định thức của ma trận.
13. Trong phép tính tích phân kép, đổi thứ tự tích phân có thể hữu ích khi nào?
A. Khi miền tích phân là hình chữ nhật.
B. Khi tích phân ban đầu khó tính trực tiếp.
C. Khi hàm dưới dấu tích phân là hàm đa thức đơn giản.
D. Khi giới hạn tích phân là các hằng số.
14. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y' = 2x là:
A. y = 2x + C
B. y = x^2 + C
C. y = e^(2x) + C
D. y = ln|2x| + C
15. Chuỗi số ∑ (1/n^α) hội tụ khi nào?
A. α ≤ 1
B. α < 1
C. α > 1
D. α ≥ 0
16. Tích phân bội ba được sử dụng để tính:
A. Diện tích của một miền phẳng.
B. Thể tích của một vật thể trong không gian.
C. Độ dài của một đường cong trong không gian.
D. Diện tích bề mặt của một vật thể.
17. Phép biến đổi Laplace biến một hàm số f(t) thành hàm số F(s) như thế nào?
A. F(s) = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt
B. F(s) = ∫[-∞, ∞] e^(-st) f(t) dt
C. F(s) = ∫[0, ∞] e^(st) f(t) dt
D. F(s) = ∫[0, 1] e^(-st) f(t) dt
18. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất khi nào?
A. Khi hạng của ma trận A nhỏ hơn hạng của ma trận mở rộng [A|b].
B. Khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng [A|b] và bằng số ẩn.
C. Khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng [A|b] và nhỏ hơn số ẩn.
D. Khi định thức của ma trận A bằng 0.
19. Công thức nào sau đây là công thức Green?
A. ∫C Pdx + Qdy = ∬D (∂P/∂x - ∂Q/∂y) dA
B. ∫C Pdx + Qdy = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
C. ∫C Pdx + Qdy = ∬D (∂P/∂y + ∂Q/∂x) dA
D. ∫C Pdx + Qdy = ∬D (∂P/∂x + ∂Q/∂y) dA
20. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = xy^2 + x^2 tại điểm (1, 2) theo biến x là:
21. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Các vectơ khác không x sao cho Ax = λx với một số vô hướng λ.
B. Các giá trị vô hướng λ sao cho tồn tại vectơ khác không x thỏa mãn Ax = λx.
C. Các định thức của ma trận con của A.
D. Các phần tử trên đường chéo chính của ma trận A.
22. Khai triển Taylor của hàm số f(x) tại điểm x = a là:
A. ∑ (f^(n)(a)/n!) * (x-a)^n, với n từ 0 đến ∞.
B. ∑ (f^(n)(0)/n!) * x^n, với n từ 0 đến ∞.
C. ∑ (f^(n)(a)/n!) * x^n, với n từ 0 đến ∞.
D. ∑ (f(a)/n!) * (x-a)^n, với n từ 0 đến ∞.
23. Tính chất tuyến tính của phép biến đổi Laplace là:
A. L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)
B. L{f(t)g(t)} = F(s)G(s)
C. L{f(t)/g(t)} = F(s)/G(s)
D. L{f(t) + g(t)} = F(s)G(s)
24. Phương trình nào sau đây là phương trình Laplace?
A. ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = f(x, y)
B. ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0
C. ∂u/∂t = c^2(∂^2u/∂x^2)
D. ∂^2u/∂t^2 = c^2(∂^2u/∂x^2)
25. Tích phân đường loại 2 ∫C Pdx + Qdy phụ thuộc vào yếu tố nào?
A. Chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường cong C.
B. Phụ thuộc vào dạng đường cong C và hàm P, Q.
C. Chỉ phụ thuộc vào hàm P và Q, không phụ thuộc vào đường cong C.
D. Không phụ thuộc vào hàm P và Q, chỉ phụ thuộc vào độ dài đường cong C.
26. Trong phép nhân ma trận, điều kiện để nhân được hai ma trận A và B là:
A. Số dòng của A bằng số dòng của B.
B. Số cột của A bằng số cột của B.
C. Số cột của A bằng số dòng của B.
D. Số dòng của A bằng số cột của B.
27. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + 3xy^2 - 15x - 12y. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (2, 1) và (-2, -1)
B. (2, -1) và (-2, 1)
C. (1, 2) và (-1, -2)
D. (1, -2) và (-1, 2)
28. Trong không gian vectơ R^3, cho hai vectơ u = (1, 2, -1) và v = (3, -1, 2). Tích có hướng của u và v (u x v) là:
A. (3, -5, -7)
B. (3, 5, 7)
C. (3, -5, 7)
D. (-3, 5, 7)
29. Trong không gian R^2, tích phân đường ∫C f(x, y) ds tính đại lượng nào?
A. Diện tích miền giới hạn bởi đường cong C.
B. Thể tích dưới bề mặt z = f(x, y).
C. Mômen tĩnh của đường cong C với mật độ f(x, y).
D. Độ dài của đường cong C.
30. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình tuyến tính?
A. y'' + sin(y) = 0
B. y'' + xy' + y^2 = x
C. y'' + xy' + y = x^2
D. y'' + (y')^2 + y = 0
