1. Phương pháp lặp Newton-Raphson được sử dụng để:
A. Tính tích phân xác định
B. Giải phương trình vi phân
C. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến
D. Tính đạo hàm của hàm số
2. Trong không gian metric, một tập con được gọi là compact nếu nó:
A. Đóng và bị chặn
B. Mở và bị chặn
C. Đóng và không bị chặn
D. Mở và không bị chặn
3. Trong không gian vector R³, cặp vector nào sau đây trực giao?
A. (1, 2, 3) và (3, 2, 1)
B. (1, 0, 1) và (0, 1, 0)
C. (1, 1, 1) và (2, 2, 2)
D. (1, -1, 0) và (1, 1, 1)
4. Định thức của ma trận đơn vị cấp n là:
5. Điều kiện để chuỗi lũy thừa ∑ aₙ × (x - c)ⁿ hội tụ tại x là:
A. |x - c| < R, với R là bán kính hội tụ
B. |x - c| > R, với R là bán kính hội tụ
C. x = c
D. Với mọi x
6. Giá trị riêng của ma trận đường chéo là:
A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính
B. Tích các phần tử trên đường chéo chính
C. Các phần tử trên đường chéo chính
D. Không xác định
7. Đạo hàm riêng theo x của hàm số f(x, y) = x²*y + sin(xy) là:
A. 2xy + y*cos(xy)
B. x² + x*cos(xy)
C. 2x + cos(xy)
D. 2xy + cos(xy)
8. Chuỗi số nào sau đây hội tụ?
A. ∑ (1∕n) từ n=1 đến ∞
B. ∑ (n∕ (n+1)) từ n=1 đến ∞
C. ∑ (1∕n²) từ n=1 đến ∞
D. ∑ (2ⁿ) từ n=1 đến ∞
9. Điều kiện cần và đủ để một hàm số f(x) đạt cực đại địa phương tại x = x0 là:
A. f′(x0) = 0 và f′'(x0) > 0
B. f′(x0) = 0 và f′'(x0) < 0
C. f′(x0) > 0 và f′'(x0) = 0
D. f′(x0) < 0 và f′'(x0) = 0
10. Số chiều của không gian vector các đa thức bậc không quá n là:
A. n
B. n + 1
C. n - 1
D. 2n
11. Đạo hàm của hàm số f(x) = ln(x² + 1) là:
A. 2x ∕ (x² + 1)
B. 1 ∕ (x² + 1)
C. 2x × ln(x² + 1)
D. (2x + 1) ∕ (x² + 1)
12. Hạng của ma trận là:
A. Số dòng của ma trận
B. Số cột của ma trận
C. Số chiều của không gian sinh bởi các dòng (hoặc cột) của ma trận
D. Định thức của ma trận
13. Tích phân bất định của hàm số f(x) = cos(2x) là:
A. sin(2x) ∕ 2 + C
B. -sin(2x) ∕ 2 + C
C. 2sin(2x) + C
D. -2sin(2x) + C
14. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tách biến dy∕dx = x∕y là:
A. y² = x² + C
B. y = x + C
C. y² = -x² + C
D. y = -x + C
15. Trong không gian tô pô, một không gian Hausdorff là không gian mà:
A. Mọi tập con đều mở
B. Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất
C. Với hai điểm phân biệt bất kỳ, tồn tại hai lân cận rời nhau của chúng
D. Mọi ánh xạ liên tục đều khả vi
16. Hàm số f(x) = |x| có đạo hàm tại x = 0 không?
A. Có, và bằng 0
B. Có, và bằng 1
C. Không
D. Có, nhưng không xác định
17. Trong giải tích vector, toán tử 'nabla′ (∇) được sử dụng để biểu diễn:
A. Tích phân đường
B. Gradient, Divergence và Curl
C. Tích phân mặt
D. Biến đổi Laplace
18. Ma trận nào sau đây là ma trận khả nghịch?
A. [[1, 2], [2, 4]]
B. [[1, 2], [0, 0]]
C. [[1, 2], [1, 3]]
D. [[0, 0], [1, 2]]
19. Trong giải tích số, sai số cắt cụt (truncation error) phát sinh do:
A. Sử dụng số hữu hạn chữ số thập phân để biểu diễn số thực
B. Thay thế quá trình vô hạn bằng quá trình hữu hạn
C. Lỗi nhập liệu
D. Tính toán sai số học
20. Giới hạn của hàm số f(x, y) = (x² + y²) ∕ (x² + y² + 1) khi (x, y) → (0, 0) là:
A. 0
B. 1
C. ∞
D. Không tồn tại
21. Tích phân đường loại 2 ∫_C Pdx + Qdy phụ thuộc vào:
A. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C
B. Hình dạng đường cong C
C. Tham số hóa của đường cong C
D. Cả điểm đầu, điểm cuối và hình dạng đường cong C
22. Phép biến đổi Laplace biến đạo hàm bậc nhất y′(t) thành:
A. sY(s) - y(0)
B. Y(s) - y(0)
C. sY(s)
D. Y(s) ∕ s
23. Trong lý thuyết nhóm, một nhóm con chuẩn tắc (normal subgroup) là:
A. Một nhóm con giao hoán
B. Một nhóm con mà các lớp ghép trái và lớp ghép phải của nó trùng nhau
C. Một nhóm con có cấp là ước của cấp nhóm lớn
D. Một nhóm con đồng cấu với nhóm thương
24. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường trên đường cong kín và tích phân kép trên miền phẳng giới hạn bởi đường cong đó
B. Tích phân mặt và tích phân khối
C. Tích phân đường và tích phân mặt
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
25. Phép biến đổi Fourier biến tích chập của hai hàm số f(t) và g(t) thành:
A. Tích của biến đổi Fourier của f(t) và g(t)
B. Thương của biến đổi Fourier của f(t) và g(t)
C. Tổng của biến đổi Fourier của f(t) và g(t)
D. Hiệu của biến đổi Fourier của f(t) và g(t)
26. Định lý Stokes tổng quát hóa định lý nào trong mặt phẳng?
A. Định lý cơ bản của giải tích
B. Định lý Green
C. Định lý Divergence
D. Định lý Rolle
27. Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc là:
A. Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong một khoảng liên tục
B. Biến ngẫu nhiên nhận một số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị
C. Biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất liên tục
D. Biến ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0
28. Tính chất tuyến tính của tích phân xác định là:
A. ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx × ∫ g(x) dx
B. ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
C. ∫ c*f(x) dx = c + ∫ f(x) dx
D. ∫ [f(x) × g(x)] dx = ∫ f(x) dx × ∫ g(x) dx
29. Phương trình vi phân y′' + 4y′ + 4y = 0 có nghiệm tổng quát dạng nào?
A. y = C1*e²ˣ + C2*e⁻²ˣ
B. y = C1*cos(2x) + C2*sin(2x)
C. y = (C1 + C2*x)*e⁻²ˣ
D. y = (C1 + C2*x)*e²ˣ
30. Điều kiện Cauchy-Riemann là điều kiện cần để:
A. Một hàm số thực khả vi
B. Một hàm số phức khả vi (giải tích)
C. Một hàm số liên tục
D. Một hàm số bị chặn
