Đề 15 – Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Toán cho các nhà kinh tế

Để tìm đạo hàm riêng theo x, ta coi y là hằng số và đạo hàm theo quy tắc đạo hàm lũy thừa và đạo hàm của tổng. Đạo hàm của x³y² theo x là 3x²y², và đạo hàm của 2x theo x là 2.

Định lý dân gian trong lý thuyết trò chơi lặp chỉ ra rằng trong trò chơi lặp vô hạn lần (hoặc hữu hạn lần với đủ tính không chắc chắn), có thể tồn tại vô số cân bằng Nash, bao gồm cả các kết quả hợp tác và hiệu quả Pareto, nếu người chơi đủ kiên nhẫn (tỷ lệ chiết khấu đủ cao).

Tự tương quan (autocorrelation) đo lường mối tương quan tuyến tính giữa các giá trị của cùng một chuỗi thời gian tại các khoảng thời gian khác nhau. Tự tương quan bậc nhất đặc biệt xem xét mối quan hệ giữa giá trị hiện tại và giá trị của chính nó ở thời điểm trước đó một kỳ.

Ma trận Jacobian chứa các đạo hàm riêng bậc nhất của một hệ phương trình, cho phép xấp xỉ tuyến tính hệ phương trình phi tuyến tính tại một điểm cụ thể, giúp đơn giản hóa phân tích và tìm nghiệm gần đúng.

Tích phân bất định của 3x² là x³ và tích phân của -1 là -x. Do đó, tích phân bất định của 3x² - 1 là x³ - x + C, với C là hằng số tích phân.

Để tìm giá và lượng cân bằng, ta cân bằng hàm cung và hàm cầu: 2Q + 5 = -Q + 20. Giải phương trình này, ta được 3Q = 15 ⇒ Q = 5. Thay Q = 5 vào một trong hai phương trình, ví dụ P = -Q + 20 = -5 + 20 = 15. Vậy giá cân bằng P = 15 và lượng cân bằng Q = 5.

Hàm hữu dụng Von Neumann-Morgenstern được thiết kế để mô tả sở thích của cá nhân đối với các tình huống có rủi ro hoặc không chắc chắn. Hàm này gán giá trị hữu dụng cho các kết quả có thể xảy ra và cho phép so sánh giữa các lựa chọn rủi ro khác nhau.

Giá trị hiện tại ròng (NPV) là công cụ tài chính quan trọng để đánh giá dự án đầu tư bằng cách chiết khấu dòng tiền tương lai về giá trị hiện tại và so sánh với chi phí đầu tư ban đầu. NPV dương cho thấy dự án có khả thi về mặt tài chính.

Chi phí biên (MC) là đạo hàm bậc nhất của hàm tổng chi phí (TC) theo sản lượng Q. Đạo hàm của TC(Q) = Q³ - 10Q² + 50Q + 100 theo Q là MC(Q) = 3Q² - 20Q + 50.

Đường bàng quan tập hợp tất cả các giỏ hàng hóa khác nhau mà người tiêu dùng cảm thấy mức độ thỏa mãn (utility) là như nhau. Di chuyển dọc theo đường bàng quan, sự thỏa mãn của người tiêu dùng không đổi.

Nếu định thức của ma trận hệ số A khác 0 (det(A) ≠ 0), ma trận A khả nghịch. Trong trường hợp này, hệ phương trình tuyến tính Ax = b có nghiệm duy nhất, được xác định bởi x = A⁻¹b.

Hệ số R-squared (R²) cho biết tỷ lệ phần trăm phương sai tổng thể của biến phụ thuộc được giải thích bởi các biến độc lập trong mô hình hồi quy, thể hiện mức độ phù hợp của mô hình với dữ liệu quan sát.

Đường cầu tuyến tính có dạng Q = a - bP, trong đó `a′ là lượng cầu khi giá bằng 0 và `b′ là độ dốc của đường cầu, thể hiện sự thay đổi của lượng cầu khi giá thay đổi.

Tỷ lệ chiết khấu phản ánh giá trị thời gian của tiền và rủi ro, được sử dụng để chiết khấu các dòng tiền lợi ích và chi phí trong tương lai về giá trị hiện tại, giúp so sánh và đánh giá dự án một cách chính xác.

Mô hình Solow sử dụng phương trình vi phân dK∕dt = sF(K, L) - δK để mô tả sự thay đổi của vốn (K) theo thời gian (t), trong đó `s′ là tỷ lệ tiết kiệm, F(K, L) là hàm sản xuất, và `δ` là tỷ lệ khấu hao vốn.

Độ co giãn của cầu theo giá đo lường mức độ phản ứng của lượng cầu đối với sự thay đổi của giá, được tính bằng tỷ lệ phần trăm thay đổi của lượng cầu chia cho tỷ lệ phần trăm thay đổi của giá.

Ma trận Hessian chứa các đạo hàm riêng bậc hai của hàm số. Trong bài toán tối ưu hóa đa biến, nó được sử dụng để kiểm tra điều kiện cực trị bậc hai, giúp xác định điểm dừng là cực đại, cực tiểu hay điểm yên ngựa.

Khi α + β = 1, hàm sản xuất Cobb-Douglas có tính chất lợi suất không đổi theo quy mô. Điều này có nghĩa là khi tăng đồng thời cả lao động (L) và vốn (K) lên cùng một tỷ lệ, sản lượng (Q) cũng tăng lên theo tỷ lệ tương ứng.

Phương trình vi phân dy∕dx = ky biểu diễn tăng trưởng mũ hoặc tăng trưởng theo cấp số nhân, vì tốc độ tăng trưởng của y tỷ lệ thuận với giá trị hiện tại của y. Nghiệm tổng quát có dạng y(x) = Ceᵏˣ, thể hiện sự tăng trưởng theo hàm mũ.

Điều kiện bậc nhất (điều kiện cần) để hàm số f(x) đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm x* là đạo hàm bậc nhất của hàm số tại điểm đó phải bằng 0, tức là f′(x*) = 0.

Mô hình IS-LM là một mô hình kinh tế vĩ mô sử dụng hệ phương trình để phân tích đồng thời cân bằng trên thị trường hàng hóa (IS) và thị trường tiền tệ (LM), từ đó xác định mức sản lượng và lãi suất cân bằng trong nền kinh tế.

Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận có vai trò quan trọng trong việc phân tích tính ổn định của các hệ thống động trong kinh tế, chẳng hạn như mô hình tăng trưởng hoặc mô hình thị trường. Giá trị riêng giúp xác định sự hội tụ hoặc phân kỳ của hệ thống.

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp, đạo hàm của ln(u) là u′∕u. Trong trường hợp này, u = x² + 1, vậy u′ = 2x. Do đó, f′(x) = (2x) ∕ (x² + 1).

Cân bằng Nash là trạng thái ổn định trong trò chơi mà mỗi người chơi lựa chọn chiến lược tốt nhất cho mình, giả định rằng các người chơi khác cũng làm tương tự. Tại điểm cân bằng này, không ai có động lực để thay đổi chiến lược của mình một cách đơn phương.

Biến giả (dummy variable) là biến định lượng nhận giá trị 0 hoặc 1, được sử dụng trong mô hình kinh tế lượng để biểu diễn các thuộc tính định tính hoặc các phạm trù không đo lường được bằng số, ví dụ như giới tính, khu vực địa lý, hoặc các sự kiện đặc biệt.

Phương pháp nhân tử Lagrange biến đổi bài toán tối ưu hóa có ràng buộc bằng cách thêm một số hạng vào hàm mục tiêu, bao gồm ràng buộc nhân với một nhân tử Lagrange (λ), từ đó cho phép giải bài toán như một bài toán tối ưu hóa không ràng buộc.

Trạng thái dừng trong mô hình Ramsey-Cass-Koopmans là trạng thái cân bằng dài hạn, khi các biến kinh tế bình quân đầu người, như vốn trên mỗi lao động và sản lượng trên mỗi lao động, không còn thay đổi theo thời gian.

Tỷ lệ thay thế biên (MRS) là tỷ lệ mà người tiêu dùng sẵn lòng đánh đổi giữa hai hàng hóa. Đối với hàm hữu dụng Cobb-Douglas U(x, y) = xᵅyᵝ, MRSxy = - (∂U∕∂x) ∕ (∂U∕∂y) = - (αxᵅ⁻¹yᵝ) ∕ (βxᵅyᵝ⁻¹) = - (α∕β) × (y∕x). Giá trị tuyệt đối là (α∕β) × (y∕x).

Phương pháp bình phương tối thiểu (OLS) là một kỹ thuật thống kê phổ biến trong kinh tế lượng, được sử dụng để ước lượng các hệ số chưa biết trong mô hình hồi quy tuyến tính bằng cách cực tiểu hóa tổng bình phương các sai số giữa giá trị thực tế và giá trị dự đoán.

Trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo, doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận khi sản xuất ở mức sản lượng mà tại đó doanh thu biên (MR) bằng chi phí biên (MC). Điều này đảm bảo rằng lợi nhuận biên từ việc sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm là bằng 0, do đó lợi nhuận đạt tối đa.