1. Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên:
A. Nhận giá trị trong một khoảng liên tục.
B. Nhận một số hữu hạn giá trị hoặc vô hạn đếm được các giá trị.
C. Luôn nhận giá trị nguyên.
D. Có hàm mật độ xác suất liên tục.
2. Cho số phức z = 2 + 3i. Số phức liên hợp của z là:
A. -2 - 3i
B. -2 + 3i
C. 2 - 3i
D. 3 + 2i
3. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất?
A. y′' + y′ + y = x²
B. y′ + y² = sin(x)
C. y′ + xy = eˣ
D. (y′)² + y = 0
4. Cho hàm số f(x) = |x|. Hàm số này:
A. Khả vi tại x = 0
B. Liên tục nhưng không khả vi tại x = 0
C. Không liên tục tại x = 0
D. Không xác định tại x = 0
5. Trong tối ưu hóa, phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để:
A. Tìm cực trị tự do của hàm số.
B. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số.
C. Giải phương trình vi phân.
D. Tính tích phân bội.
6. Trong phép biến đổi Laplace, biến đổi Laplace của hàm số f(t) = 1 là:
7. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = x³y + xy² theo biến x là:
A. 3x² + 2y
B. 3x²y + y²
C. x³ + 2xy
D. 3x²y + 2xy
8. Sai phân cấp hai tiến của hàm số f(x) tại điểm xᵢ được định nghĩa là:
A. Δ²f(xᵢ) = f(xᵢ₊₂) - 2f(xᵢ₊₁) + f(xᵢ)
B. Δ²f(xᵢ) = f(xᵢ₊₁) - 2f(xᵢ) + f(xᵢ₋₁)
C. Δ²f(xᵢ) = f(xᵢ₊₂) - f(xᵢ)
D. Δ²f(xᵢ) = f(xᵢ₊₁) - f(xᵢ)
9. Hạng của ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]] là:
10. Trong không gian vector R³, tích có hướng của hai vector u = (1, 0, 0) và v = (0, 1, 0) là:
A. (0, 0, 1)
B. (0, 0, -1)
C. (1, 1, 0)
D. (0, 1, 1)
11. Biến đổi Fourier của một hàm số f(x) thường chuyển hàm số từ miền thời gian (hoặc không gian) sang miền nào?
A. Miền phức.
B. Miền tần số.
C. Miền xác suất.
D. Miền Laplace.
12. Phương pháp nào sau đây thường được sử dụng để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng?
A. Phương pháp tách biến
B. Phương pháp hệ số bất định
C. Phương pháp biến thiên hằng số
D. Cả phương pháp hệ số bất định và biến thiên hằng số
13. Chuỗi Taylor của hàm số eˣ tại x = 0 là:
A. ∑ (xⁿ ∕ n!), từ n = 0 đến ∞
B. ∑ ((-1)ⁿ × xⁿ ∕ n!), từ n = 0 đến ∞
C. ∑ (xⁿ ∕ (2n)!), từ n = 0 đến ∞
D. ∑ (x²ⁿ⁺¹ ∕ (2n+1)!), từ n = 0 đến ∞
14. Trong thống kê toán học, kiểm định giả thuyết null (H0) nghĩa là:
A. Chứng minh giả thuyết H0 là đúng.
B. Giả định H0 là đúng để xem xét bằng chứng chống lại nó.
C. Chấp nhận giả thuyết đối (H1) là đúng.
D. Bác bỏ cả giả thuyết H0 và H1.
15. Giới hạn của dãy số aₙ = (n² + 1) ∕ (2n² - 3) khi n → ∞ là:
16. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds, trong đó C là đường cong tham số r(t) = (t, t²), 0 ≤ t ≤ 1 và f(x, y) = x + y, được tính bằng công thức nào?
A. ∫_0¹ (t + t²) dt
B. ∫_0¹ (t + t²)√(1 + 4t²) dt
C. ∫_0¹ (t + t²)√(1 + t²) dt
D. ∫_0¹ (t + t²) √(2t) dt
17. Ma trận nghịch đảo của ma trận A = [[2, 1], [3, 2]] là:
A. [[2, -1], [-3, 2]]
B. [[2, -1], [3, 2]]
C. [[-2, 1], [3, -2]]
D. [[-2, -1], [-3, -2]]
18. Định thức của ma trận đơn vị cấp n là:
19. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Các vector cột của A.
B. Các giá trị λ thỏa mãn phương trình det(A - λI) = 0.
C. Các hàng của ma trận A.
D. Các giá trị trên đường chéo chính của A.
20. Điều kiện cần và đủ để một hàm số f(z) khả vi phức tại một điểm z₀ là gì (theo phương trình Cauchy-Riemann)?
A. Hàm số f(z) phải liên tục tại z₀.
B. Các đạo hàm riêng thực và ảo của f(z) phải tồn tại và thỏa mãn các phương trình Cauchy-Riemann tại z₀.
C. Hàm số f(z) phải là đa thức.
D. Hàm số f(z) phải bị chặn trong một lân cận của z₀.
21. Cho ánh xạ tuyến tính T: R² → R² được xác định bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[-1, 1], [2, 1]]
22. Tích phân suy rộng ∫_(1)∞ (1∕xᵖ) dx hội tụ khi:
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
23. Tích phân bất định của hàm số f(x) = cos(2x) là:
A. -sin(2x)∕2 + C
B. sin(2x)∕2 + C
C. sin(2x) + C
D. -sin(2x) + C
24. Chuỗi số ∑ (1∕nᵖ) hội tụ khi:
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
25. Cho hàm số hai biến f(x, y) = x² + y². Điểm dừng của hàm số này là:
A. (1, 1)
B. (0, 0)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
26. Phương trình đạo hàm riêng nào sau đây là phương trình Laplace?
A. ∂^2u∕∂x² + ∂^2u∕∂y² = f(x, y)
B. ∂^2u∕∂x² + ∂^2u∕∂y² = 0
C. ∂u∕∂t = c² (∂^2u∕∂x²)
D. ∂^2u∕∂t² = c² (∂^2u∕∂x²)
27. Trong không gian vector, một tập hợp các vector được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu:
A. Tồn tại một tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector không, trong đó tất cả các hệ số đều bằng 0.
B. Tồn tại một tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector không, trong đó có ít nhất một hệ số khác 0.
C. Tất cả các vector đều là vector không.
D. Chúng tạo thành một cơ sở cho không gian vector.
28. Phần ảo của số phức z = (1 + i)² là:
29. Đạo hàm của hàm số f(x) = ln(x² + 1) là:
A. 1∕(x² + 1)
B. 2x∕(x² + 1)
C. 2x × ln(x² + 1)
D. (2x + 1)∕(x² + 1)
30. Trong giải tích vector, gradient của một trường vô hướng là:
A. Một trường vô hướng
B. Một trường vector
C. Một số vô hướng
D. Một ma trận
