Trắc nghiệm Kết nối Toán học 11 bài 25 Hai mặt phẳng vuông góc

Trong hình lập phương, các mặt bên là hình vuông và các mặt đối diện song song. Mặt phẳng \( (ABBA) \) là một mặt bên. Các mặt bên vuông góc với hai mặt đáy là \( (ABCD) \) và \( (ABCD) \). Các mặt bên kề với \( (ABBA) \) là \( (AADD) \) và \( (BCCB) \). Giao tuyến của \( (ABBA) \) và \( (AADD) \) là AA. Cạnh AA vuông góc với đáy \( (ABCD) \) và \( (ABCD) \). AA cũng vuông góc với AB và AD (nằm trong \( (ABBA) \) và \( (AADD) \)). Tuy nhiên, để hai mặt phẳng vuông góc, cần có một đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia. Xét \( (ABBA) \) và \( (AADD) \). Giao tuyến là AA. AD nằm trong \( (AADD) \) và AD \( \perp \) AA. AB nằm trong \( (ABBA) \) và AB \( \perp \) AA. Mặt khác, AD \( \perp \) AB. Do AA là cạnh của hình lập phương nên AA \( \perp \) AB và AA \( \perp \) AD. Mặt phẳng \( (AADD) \) chứa AD và AA. Mặt phẳng \( (ABBA) \) chứa AB và AA. Giao tuyến là AA. Cạnh AB nằm trong \( (ABBA) \) và AB \( \perp \) AA. Cạnh AD nằm trong \( (AADD) \) và AD \( \perp \) AA. Cần xem xét liệu có đường thẳng nào trong \( (AADD) \) vuông góc với \( (ABBA) \) hay không. Nếu AA \( \perp \) AB, và AD \( \perp \) AB, thì \( (ABBA) \) có thể vuông góc với \( (AADD) \). Thật vậy, vì AA \( \perp \) AB và AA \( \perp \) AD, nên AA \( \perp \) (ABCD). Mặt phẳng \( (ABBA) \) chứa AA. Mặt phẳng \( (AADD) \) chứa AA. Giao tuyến là AA. AD nằm trong \( (AADD) \) và AD \( \perp \) AA. AB nằm trong \( (ABBA) \) và AB \( \perp \) AA. Vì ABCD là hình vuông nên AD \( \perp \) AB. Vì AA \( \perp \) AB và AD \( \perp \) AB, và AA và AD không song song, nên hai mặt phẳng \( (ABBA) \) và \( (AADD) \) vuông góc với nhau. Tương tự, xét mặt phẳng \( (BCCB) \). Giao tuyến của \( (ABBA) \) và \( (BCCB) \) là BB. BB vuông góc với AB (nằm trong \( (ABBA) \)) và BC (nằm trong \( (BCCB) \)). Vì ABCD là hình vuông, AB \( \perp \) BC. Do đó, hai mặt phẳng \( (ABBA) \) và \( (BCCB) \) vuông góc với nhau. Kết luận: Cả A và B.

Theo định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc, nếu \( (P) \perp (Q) \) thì tồn tại một đường thẳng \(a\) trong \( (P) \) sao cho \(a\) vuông góc với \( (Q) \). Nếu \(a\) vuông góc với \( (Q) \), thì \(a\) phải vuông góc với mọi đường thẳng trong \( (Q) \), bao gồm cả giao tuyến \(d\) của \( (P) \) và \( (Q) \). Ngược lại, nếu có đường thẳng \(a\) nằm trong \( (P) \) và \( a \perp d \) (với \(d\) là giao tuyến), thì ta cần xem xét mối quan hệ của \(a\) với \( (Q) \). Nếu \(a \perp d \) và \(a \subset (P) \), và \( (P) \perp (Q) \), thì điều này có nghĩa là \(a\) là đường thẳng đặc biệt. Nếu \(a \perp d \) và \(a \subset (P) \), thì \(a\) tạo với \( (Q) \) một góc mà nếu góc này là 90 độ thì \(a \perp (Q) \). Thực tế, nếu \(a \subset (P) \) và \( a \perp d \), và \( (P) \perp (Q) \), thì \(a\) sẽ vuông góc với mọi đường thẳng trong \( (Q) \) đi qua giao điểm của \(a\) với \( (Q) \). Nếu \(a\) cắt \( (Q) \), thì \(a \perp (Q) \). Nếu \(a \parallel (Q) \), thì \(a \parallel d \) (do \(d\) là giao tuyến). Nhưng đề bài cho \(a \perp d \). Vậy \(a\) không thể song song với \( (Q) \). Do \(a \subset (P) \) và \( a \perp d \), và \( (P) \perp (Q) \), thì \(a\) phải vuông góc với \( (Q) \). Kết luận: \( a \perp (Q) \).

Hai mặt phẳng \( (P) \) và \( (Q) \) vuông góc với nhau. Giao tuyến của chúng là \(d\). Cho đường thẳng \(a\) nằm trong \( (P) \) và \( a \perp d \). Theo định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc, nếu có một đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc. Ngược lại, nếu hai mặt phẳng vuông góc, thì tồn tại một đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia. Nếu \(a \subset (P) \) và \( a \perp d \), và \( (P) \perp (Q) \). Vì \(a \subset (P) \) và \( a \perp d \), mà \(d\) là giao tuyến của \( (P) \) và \( (Q) \), điều này có nghĩa là \(a\) vuông góc với mọi đường thẳng trong \( (Q) \) đi qua giao điểm của \(a\) với \( (Q) \). Nếu \(a\) cắt \( (Q) \), thì \(a\) sẽ vuông góc với \( (Q) \). Nếu \(a \parallel (Q) \) thì \(a \parallel d \), điều này mâu thuẫn với \( a \perp d \). Vậy \(a\) phải cắt \( (Q) \). Khi \(a\) cắt \( (Q) \) và \( a \perp d \), thì \(a\) vuông góc với \( (Q) \). Kết luận: \( a \perp (Q) \).

Do SA \( \perp \) (ABCD), ta có SA \( \perp \) AB và SA \( \perp \) AD. Trong tam giác vuông SAB, \( SB^2 = SA^2 + AB^2 = SA^2 + a^2 \). Trong tam giác vuông SAC, \( SC^2 = SA^2 + AC^2 = SA^2 + (a\sqrt{2})^2 = SA^2 + 2a^2 \). Vì \( SB \perp SC \) nên \( SB^2 + SC^2 = BC^2 \). Ta có \( BC^2 = a^2 \). Do đó, \( (SA^2 + a^2) + (SA^2 + 2a^2) = a^2 \), suy ra \( 2SA^2 + 3a^2 = a^2 \), hay \( 2SA^2 = -2a^2 \), điều này vô lý. Đề bài có thể có sai sót hoặc tôi đang hiểu nhầm. Giả sử đề bài cho \( AB \perp BC \) và \( SB \perp SC \) trong tam giác \( SBC \). Nếu SA \( \perp \) (ABCD), thì SA \( \perp \) AB. Xét mặt phẳng \( (SBC) \). Để xác định mặt phẳng vuông góc với \( (SBC) \), ta cần tìm một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với \( (SBC) \). Nếu \( SB \perp SC \) thì tam giác \( SBC \) vuông tại S. Nếu SA \( \perp \) (ABCD), thì SA là đường cao. Mặt phẳng \( (SAB) \) chứa SA và AB. SA \( \perp \) AB, nhưng không nhất thiết SA \( \perp \) (SBC). Tuy nhiên, nếu xét \( (SAB) \) và \( (ABCD) \), giao tuyến là AB. SA \( \perp \) AB. Nếu có đường thẳng trong \( (SBC) \) vuông góc với AB, ví dụ đường cao từ S xuống BC, thì \( (SBC) \) và \( (ABCD) \) vuông góc. Nhưng giả thiết là \( SB \perp SC \). Quay lại định nghĩa, nếu \( (SBC) \) vuông góc với một mặt phẳng, thì mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vuông góc với \( (SBC) \). Xét mặt phẳng \( (SAB) \). Đường thẳng SA nằm trong \( (SAB) \). SA \( \perp \) AB. Nếu SA \( \perp \) BC, thì SA \( \perp \) (SBC). Điều này xảy ra nếu ABCD là hình chữ nhật và SA là đường cao. Với đáy là hình vuông và SA \( \perp \) đáy, SA \( \perp \) AB. Để \( (SBC) \) vuông góc với \( (SAB) \), cần có một đường thẳng trong \( (SBC) \) vuông góc với \( (SAB) \). Nếu \( SB \perp SC \), xét tam giác \( SBC \). Gọi M là trung điểm BC. SM là trung tuyến. Nếu \( SB = SC \) thì SM \( \perp \) BC. Trong \( SBC \), nếu \( SB \perp SC \), thì tam giác \( SBC \) vuông tại S. Nếu ta chiếu \( (SBC) \) xuống \( (ABCD) \), ta được \( (ABC) \). Góc giữa \( (SBC) \) và \( (ABCD) \) là góc giữa đường cao từ S xuống BC và BC. Nếu \( SB \perp SC \), và SA \( \perp \) đáy, thì xét tam giác \( SBC \), nếu \( SB \perp SC \), tam giác này vuông tại S. Nếu SA = x, AB = a, BC = a. \( SB^2 = x^2 + a^2 \), \( SC^2 = x^2 + a^2 \) (do ABCD vuông). Vậy \( SB = SC \). Tam giác SBC cân. Nếu \( SB \perp SC \) thì \( SB^2 + SC^2 = BC^2 \), suy ra \( 2(x^2 + a^2) = a^2 \), \( 2x^2 + 2a^2 = a^2 \), \( 2x^2 = -a^2 \), vô lý. Có lẽ đề bài có ý khác. Giả sử đề bài cho \( SA \perp SB \) và \( SA \perp SC \). Nếu \( SB \perp SC \) thì \( (SBC) \) vuông góc với \( (SAB) \) nếu SA \( \perp \) AB. Điều này đúng vì SA \( \perp \) (ABCD). Vậy mặt phẳng \( (SAB) \) chứa đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng \( (SBC) \). Kết luận: \( (SAB) \).

Theo định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc, hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau nếu một trong hai mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Trong các lựa chọn, chỉ lựa chọn A thỏa mãn điều kiện này. Lựa chọn B sai vì đường thẳng vuông góc với (P) phải nằm trong (Q). Lựa chọn C chỉ đảm bảo hai đường thẳng vuông góc nhau, không đủ để suy ra hai mặt phẳng vuông góc. Lựa chọn D chỉ đảm bảo đường thẳng vuông góc với giao tuyến, không đủ. Kết luận: Có một đường thẳng \(a\) nằm trong \( (P) \) và \( a \perp (Q) \).

Hai mặt phẳng \( (P) \) và \( (Q) \) vuông góc với nhau. Giao tuyến của chúng là \(d\). Cho đường thẳng \(a\) nằm trong \( (P) \) và \( a \parallel d \). Vì \(a \parallel d \) và \(d\) là giao tuyến của \( (P) \) và \( (Q) \), nên \(a\) song song với mọi đường thẳng trong \( (Q) \) mà song song với \(d\). Nói cách khác, \(a\) song song với mặt phẳng \( (Q) \). Điều này là do \(a\) song song với một đường thẳng nằm trong \( (Q) \) (chính là \(d\)). Kết luận: \( a \parallel (Q) \).

Do SA \( \perp \) (ABCD), nên SA \( \perp \) AB và SA \( \perp \) BC. Xét hai mặt phẳng \( (SBC) \) và \( (SAB) \). Giao tuyến của chúng là SB. Ta cần tìm đường thẳng trong \( (SBC) \) vuông góc với SB, hoặc đường thẳng trong \( (SAB) \) vuông góc với SB. Ta có SA \( \perp \) AB. Xét mặt phẳng \( (SAB) \). Đường thẳng SA nằm trong \( (SAB) \) và SA \( \perp \) AB. Nếu \( (SBC) \) vuông góc với \( (SAB) \), thì phải có đường thẳng trong \( (SBC) \) vuông góc với \( (SAB) \). Ta có SA \( \perp \) BC. Xét mặt phẳng \( (SBC) \). Đường thẳng BC nằm trong \( (SBC) \) và BC \( \perp \) SA. Tuy nhiên, SA không nằm trong \( (SBC) \). Xét mặt phẳng \( (SAB) \). Đường thẳng SA nằm trong \( (SAB) \) và SA \( \perp \) AB. Xét mặt phẳng \( (SBC) \). Ta có SA \( \perp \) BC. Nếu ta xét mặt phẳng \( (SAB) \) và \( (ABCD) \), giao tuyến là AB. SA \( \perp \) AB. Vậy \( (SAB) \) vuông góc với \( (ABCD) \). Xét mặt phẳng \( (SBC) \) và \( (ABCD) \), giao tuyến là BC. SA \( \perp \) BC. Vậy \( (SBC) \) vuông góc với \( (ABCD) \). Vì \( (SAB) \) vuông góc với \( (ABCD) \) và \( (SBC) \) vuông góc với \( (ABCD) \), thì \( (SAB) \) và \( (SBC) \) không nhất thiết vuông góc với nhau. Ta cần kiểm tra lại. Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc: nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Mặt phẳng \( (SAB) \) chứa SA. SA \( \perp \) AB. SA \( \perp \) BC. Vì SA \( \perp \) AB và SA \( \perp \) BC, và AB, BC không song song, nên SA \( \perp \) (ABCD). Xét mặt phẳng \( (SBC) \). Để \( (SBC) \) vuông góc với \( (SAB) \), cần có đường thẳng trong \( (SBC) \) vuông góc với \( (SAB) \). Ta có SA \( \perp \) BC. Xét mặt phẳng \( (SAB) \). Đường thẳng SA nằm trong đó và SA \( \perp \) AB. Mặt phẳng \( (SBC) \) chứa BC. SA \( \perp \) BC. Điều này có nghĩa là BC vuông góc với đường thẳng SA. Nếu ta xét mặt phẳng \( (SAB) \), đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng \( (SBC) \) nếu SA vuông góc với hai đường thẳng không song song trong \( (SBC) \). Ta có SA \( \perp \) BC. Xét tam giác SBC. Nếu ta kẻ đường cao SH từ S xuống BC, thì SH \( \perp \) BC. Ta cần xem xét mối quan hệ giữa SH và mặt phẳng \( (SAB) \). Nếu SA \( \perp \) BC, và SA nằm trong \( (SAB) \), thì \( (SBC) \) có thể vuông góc với \( (SAB) \). Cụ thể, nếu SA \( \perp \) BC và SA \( \perp \) AB, thì SA \( \perp \) (ABCD). Xét mặt phẳng \( (SAB) \). Đường thẳng SA nằm trong \( (SAB) \) và SA \( \perp \) AB. Xét mặt phẳng \( (SBC) \). Đường thẳng BC nằm trong \( (SBC) \) và BC \( \perp \) SA. Nếu BC \( \perp \) SB, thì BC \( \perp \) (SAB). Điều này xảy ra nếu tam giác SBC vuông tại B. Tuy nhiên, đề bài chỉ cho SA \( \perp \) (ABCD). Ta có SA \( \perp \) BC. Vậy BC là đường thẳng vuông góc với SA. Nếu ta chọn mặt phẳng \( (SAB) \), đường thẳng SA nằm trong nó và SA \( \perp \) AB. Mặt phẳng \( (SBC) \) chứa BC. SA \( \perp \) BC. Điều này là đúng. Để hai mặt phẳng vuông góc, cần có một đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia. Mặt phẳng \( (SAB) \) chứa SA. SA \( \perp \) AB. Nếu \( (SBC) \) vuông góc với \( (SAB) \), thì phải có đường thẳng trong \( (SBC) \) vuông góc với \( (SAB) \). Ta có SA \( \perp \) BC. Xét mặt phẳng \( (SBC) \). Đường thẳng BC nằm trong \( (SBC) \). Đường thẳng SA nằm trong \( (SAB) \). SA \( \perp \) BC. Điều này có nghĩa là BC vuông góc với SA. Nếu ta xét mặt phẳng \( (SBC) \) và \( (SAB) \). Giao tuyến là SB. Ta có SA \( \perp \) AB. Nếu SA \( \perp \) SB thì \( (SAB) \) vuông góc với \( (SBC) \). Nhưng ta không có thông tin này. Quay lại định nghĩa: hai mặt phẳng vuông góc nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Mặt phẳng \( (SAB) \) chứa SA. SA \( \perp \) AB. SA \( \perp \) BC. Vì SA \( \perp \) AB và SA \( \perp \) BC, SA \( \perp \) (ABCD). Xét mặt phẳng \( (SBC) \). Để \( (SBC) \) vuông góc với \( (SAB) \), ta cần một đường thẳng trong \( (SBC) \) vuông góc với \( (SAB) \). Ta có SA \( \perp \) BC. Vậy BC là đường thẳng vuông góc với SA. Nếu BC vuông góc với SB, thì BC vuông góc với \( (SAB) \). Điều này xảy ra nếu tam giác SBC vuông tại B. Tuy nhiên, đề bài không cho điều này. Xét lại. SA \( \perp \) AB. SA \( \perp \) BC. Vậy SA \( \perp \) (ABCD). Xét mặt phẳng \( (SAB) \). Đường thẳng SA nằm trong \( (SAB) \). SA \( \perp \) AB. Xét mặt phẳng \( (SBC) \). Đường thẳng BC nằm trong \( (SBC) \). SA \( \perp \) BC. Điều này có nghĩa là BC vuông góc với SA. Nếu BC vuông góc với hai đường thẳng không song song trong \( (SAB) \), thì BC vuông góc với \( (SAB) \). Ta có BC vuông góc với SA. Ta cần BC vuông góc với một đường thẳng khác trong \( (SAB) \) không song song với SA. Đó là AB. BC \( \perp \) AB (do ABCD là hình chữ nhật). Vì BC \( \perp \) SA và BC \( \perp \) AB, nên BC \( \perp \) (SAB). Do BC nằm trong \( (SBC) \) và BC \( \perp \) (SAB), nên \( (SBC) \) vuông góc với \( (SAB) \). Kết luận: \( (SAB) \).

Khi hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba, các giao tuyến tạo ra sẽ song song với nhau. Điều này tương tự như tính chất của hình lăng trụ hoặc hình chóp cụt. Nếu \( (P) \parallel (Q) \) và \( (R) \) cắt cả hai, thì \( a = (R) \cap (P) \) và \( b = (R) \cap (Q) \). Vì \( (P) \parallel (Q) \), mọi đường thẳng trong \( (P) \) đều song song với \( (Q) \) và ngược lại. Do \( a \) nằm trong \( (P) \) và \( b \) nằm trong \( (Q) \), và cả hai cùng nằm trên \( (R) \), nên \( a \parallel b \). Kết luận: \( a \parallel b \).

Nếu \( (P) \perp (Q) \), tồn tại một đường thẳng \(c\) trong \( (P) \) sao cho \( c \perp (Q) \). Đường thẳng \(c\) này cũng vuông góc với giao tuyến \(d\) của \( (P) \) và \( (Q) \). Cho \(a\) là đường thẳng trong \( (P) \) và \(a\) không song song với \(d\). Nếu \(a \perp (Q) \) thì \(a\) phải vuông góc với mọi đường thẳng trong \( (Q) \), bao gồm cả \(d\). Nhưng nếu \(a \perp d \) và \(a \) nằm trong \( (P) \) và \( (P) \perp (Q) \), thì \(a\) sẽ vuông góc với \( (Q) \) (theo định nghĩa hoặc tính chất). Tuy nhiên, đề bài nói \(a\) không song song với giao tuyến. Nếu \(a \perp (Q) \), thì \(a\) cũng vuông góc với giao tuyến \(d\). Nhưng \(a\) không song song với \(d\) là điều kiện cho trước. Vậy \(a\) không thể song song với \(d\). Nếu \(a \perp (Q) \), thì \(a\) cũng vuông góc với \(d\). Điều này có thể xảy ra. Tuy nhiên, xét trường hợp \(a\) cắt \(d\) tại một điểm, và \(a \perp d \). Khi đó \(a \perp (Q) \). Nếu \(a \) cắt \(d\) tại một điểm và không vuông góc với \(d\), thì \(a\) sẽ cắt \( (Q) \) nhưng không vuông góc. Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc: hai mặt phẳng vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90 độ. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nếu \( (P) \perp (Q) \), tồn tại \(a \subset (P) \) sao cho \( a \perp (Q) \). Đường thẳng \(a\) này cũng vuông góc với giao tuyến \(d\). Nếu \(a\) là đường thẳng bất kỳ trong \( (P) \) không song song với \(d\). Nếu \(a \perp (Q) \), thì \(a \perp d \). Vì \(a \) nằm trong \( (P) \) và \( a \perp d \), và \(d\) là giao tuyến, thì \(a \perp (Q) \). Nhưng điều này chỉ xảy ra nếu \(a\) là đường thẳng đặc biệt. Nếu \(a\) chỉ là một đường thẳng bất kỳ trong \( (P) \) không song song với \(d\). Ta có thể chọn \(a\) sao cho nó cắt \(d\) tại một điểm I, và tạo với \(d\) một góc \( \theta \) khác 0 và khác 90 độ. Khi đó, \(a\) sẽ cắt \( (Q) \) tại điểm I, nhưng không vuông góc với \( (Q) \). Kết luận: \( a \) cắt \( (Q) \) nhưng không vuông góc.

Hai mặt phẳng \( (P) \) và \( (Q) \) vuông góc với nhau khi và chỉ khi có một đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia. Đề bài cho \(a \subset (P) \) và \(b \subset (Q) \), với \(a \perp b \). Nếu \( (P) \perp (Q) \), thì tồn tại một đường thẳng \(c\) trong \( (P) \) sao cho \( c \perp (Q) \). Nếu đường thẳng \(a\) nằm trong \( (P) \) và \( a \perp (Q) \), thì \( (P) \perp (Q) \). Ngược lại, nếu \( (P) \perp (Q) \) và \( a \subset (P) \), \( b \subset (Q) \) với \(a \perp b \). Nếu \(a \perp (Q) \), thì \(a\) phải vuông góc với mọi đường thẳng trong \( (Q) \), bao gồm cả \(b\). Điều này phù hợp với giả thiết \(a \perp b \). Vậy điều kiện \( a \perp (Q) \) là đủ. Kết luận: Đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \( (Q) \).

Hai mặt phẳng \( (P) \) và \( (Q) \) vuông góc với nhau. Giao tuyến của chúng là \(d\). Cho đường thẳng \(a\) nằm trong \( (P) \) và \(a\) cắt \(d\) tại một điểm I, với \( a \not\perp d \). Vì \(a\) nằm trong \( (P) \), và \( (P) \) vuông góc với \( (Q) \), nên nếu \(a\) vuông góc với giao tuyến \(d\) thì \(a \perp (Q) \). Tuy nhiên, ở đây \(a\) không vuông góc với \(d\). Vì \(a\) cắt \(d\) tại I, và \(d\) là một đường thẳng nằm trong \( (Q) \), nên \(a\) cắt \( (Q) \) tại điểm I. Do \(a\) không vuông góc với \(d\) (đường thẳng trong \( (Q) \)), nên \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \( (Q) \). Kết luận: \( a \) cắt \( (Q) \) nhưng không vuông góc.

Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \( (\alpha) \) nếu \(a\) vuông góc với mọi đường thẳng trong \( (\alpha) \) đi qua giao điểm của \(a\) và \( (\alpha) \). Do đó, \(a\) sẽ vuông góc với mọi đường thẳng trong \( (\alpha) \). Kết luận: Mọi đường thẳng trong \( (\alpha) \).

Hai mặt phẳng \( (P) \) và \( (Q) \) vuông góc với nhau. Giao tuyến của chúng là \(d\). Cho đường thẳng \(a\) nằm trong \( (P) \) và \( a \parallel d \). Vì \(a \parallel d \) và \(d\) là giao tuyến của \( (P) \) và \( (Q) \), nên \(a\) song song với mặt phẳng \( (Q) \). Điều này đúng với mọi đường thẳng trong \( (P) \) song song với giao tuyến \(d\). Kết luận: \( a \parallel (Q) \).

Hai mặt phẳng \( (P) \) và \( (Q) \) vuông góc với nhau. Giao tuyến của chúng là \(d\). Cho đường thẳng \(a\) nằm trong \( (P) \) và \( a \perp d \). Vì \( (P) \perp (Q) \) nên mọi đường thẳng trong \( (P) \) vuông góc với \(d\) đều vuông góc với mặt phẳng \( (Q) \). Do đó, \( a \perp (Q) \). Kết luận: \( a \perp (Q) \).

Do SA \( \perp \) (ABCD), ta có SA \( \perp \) AC. Xét tam giác SAC vuông tại A. Gọi \( (\alpha) \) là mặt phẳng qua A và \( (\alpha) \perp SC \). Tìm một mặt phẳng song song với \( (\alpha) \). Để một mặt phẳng song song với \( (\alpha) \), nó phải chứa một vectơ pháp tuyến của \( (\alpha) \) và không chứa SC. Vectơ chỉ phương của SC là \( \vec{SC} \). Do \( (\alpha) \) vuông góc với SC, nên \( \vec{SC} \) là vectơ pháp tuyến của \( (\alpha) \). Ta cần tìm mặt phẳng chứa một vectơ song song với \( \vec{SC} \) và không chứa SC. Xét mặt phẳng \( (SBD) \). Giao tuyến của \( (SBD) \) và \( (ABCD) \) là BD. Vì ABCD là hình vuông, AC \( \perp \) BD. Ta có SA \( \perp \) AC. Xét tam giác SAC vuông tại A. Đường cao AH từ A xuống SC sẽ vuông góc với SC. Mặt phẳng \( (AH...) \) sẽ song song với \( (\alpha) \). Xét mặt phẳng \( (SBD) \). Ta có BD \( \perp \) AC. Nếu BD \( \perp \) SA, thì BD \( \perp \) (SAC). Tuy nhiên, BD không vuông góc với SA. Xét vector \( \vec{SC} = \vec{AC} - \vec{AS} \). Nếu ta chiếu \( SC \) lên \( BD \) thì sao? Xét mặt phẳng \( (SBD) \). Ta có BD là giao tuyến của \( (SBD) \) và \( (ABCD) \). AC là đường chéo hình vuông. AC \( \perp \) BD. SA \( \perp \) AC. Hãy xem xét vectơ pháp tuyến của \( (SBD) \). Nếu ta tìm được một vectơ song song \( \vec{SC} \) trong mặt phẳng \( (SBD) \). Xét đường thẳng BD. BD nằm trong \( (SBD) \). BD \( \perp \) AC. Ta cần một đường thẳng trong \( (SBD) \) vuông góc với SC. Xét tam giác SAC. Gọi H là hình chiếu của A lên SC. \( AH \perp SC \). Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC chính là mặt phẳng đi qua A và chứa AH. Mặt phẳng \( (SBD) \) chứa BD. BD \( \perp \) AC. Nếu ta xét \( \vec{SC} \) và \( \vec{BD} \), liệu tích vô hướng có bằng 0 không? Xét mặt phẳng \( (SAC) \). Đường thẳng BD cắt \( (SAC) \) tại trung điểm của BD, gọi là O. OA = OC. Tam giác SAC vuông tại A. AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC. Vậy AO = OC = OS (nếu SA=SC). Tuy nhiên, SA \( \perp \) AC nên tam giác SAC vuông tại A. BD \( \perp \) AC. BD \( \perp \) SA (vì SA \( \perp \) (ABCD)). Do BD \( \perp \) AC và BD \( \perp \) SA, nên BD \( \perp \) (SAC). Vì BD \( \perp \) (SAC) nên BD \( \perp \) SC. Mặt phẳng \( (SBD) \) chứa BD. Do BD \( \perp \) SC, nên mặt phẳng \( (SBD) \) chứa đường thẳng BD vuông góc với SC. Vì \( (\alpha) \) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, nên \( (\alpha) \) song song với mọi mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với SC. Mặt phẳng \( (SBD) \) chứa BD và BD \( \perp \) SC. Do đó, \( (SBD) \) song song với \( (\alpha) \). Kết luận: \( (SBD) \).