Category:
Trắc nghiệm Kết nối Toán học 8 bài 34 Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác
Tags:
Bộ đề 1
4. Trong $\triangle ABC$, đường phân giác AD (D thuộc BC) chia cạnh BC thành hai đoạn BD và DC sao cho $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$. Nếu $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ đồng dạng thì tỉ lệ các cạnh tương ứng là gì?
Định lý về đường phân giác trong tam giác ABC cho biết $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$. Nếu $\triangle ABD$ đồng dạng với $\triangle ACD$, ta cần xác định các cặp cạnh và góc tương ứng. Tuy nhiên, đề bài hỏi về tỉ lệ các cạnh tương ứng nếu chúng đồng dạng. Theo định lý phân giác, tỉ lệ $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$. Nếu hai tam giác này đồng dạng, các cạnh tương ứng sẽ tỉ lệ. Cạnh AD là cạnh chung, nên tỉ lệ của nó với chính nó là 1. Vậy nếu $\triangle ABD \sim \triangle ACD$, thì tỉ lệ các cạnh tương ứng phải là $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} = \frac{AD}{AD}$ (do AD là cạnh chung, tỉ lệ là 1). Tuy nhiên, theo định lý phân giác, $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$. Nếu $\triangle ABD \sim \triangle ACD$, thì tỉ lệ phải là $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{AD} = \frac{AD}{CD}$ hoặc các hoán vị tương ứng. Đề bài có lẽ muốn kiểm tra sự hiểu biết về định lý phân giác và cách áp dụng tỉ lệ đồng dạng. Với tỉ lệ cạnh là $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$ từ định lý phân giác, và nếu hai tam giác đồng dạng, thì tỉ lệ các cạnh tương ứng phải bằng nhau. Nếu $\triangle ABD \sim \triangle ACD$, thì $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} = \frac{AD}{AD}$ là sai vì không đảm bảo thứ tự các đỉnh. Nếu xét $\triangle ABC \sim \triangle BAD$ thì $\frac{AB}{BA} = \frac{BC}{AD} = \frac{AC}{BD}$. Tỉ lệ của đường phân giác không trực tiếp suy ra đồng dạng của hai tam giác nhỏ. Tuy nhiên, nếu ta giả định $\triangle ABD \sim \triangle ACD$, thì tỉ lệ các cạnh tương ứng phải bằng nhau. Cạnh chung AD tỉ lệ với chính nó là 1. Tỉ lệ $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$ là định lý phân giác. Nếu hai tam giác đồng dạng, thì tỉ lệ các cạnh tương ứng phải bằng nhau. Nếu xét $\triangle ABD \sim \triangle CAD$, thì $\frac{AB}{CA} = \frac{BD}{AD} = \frac{AD}{CD}$. Từ định lý phân giác, $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$. Để $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{AD}$ và $\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{CD}$, ta cần $\frac{BD}{AD} = \frac{AD}{CD}$ tức là $AD^2 = BD \cdot DC$. Đây là trường hợp tam giác vuông. Tuy nhiên, nếu chỉ dựa vào định lý phân giác và giả định đồng dạng, thì tỉ lệ các cạnh tương ứng sẽ bao gồm cả tỉ lệ của định lý phân giác. Cạnh AD là cạnh chung, tỉ lệ với chính nó là 1. Vậy tỉ lệ $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$ là đúng theo định lý phân giác. Nếu $\triangle ABD \sim \triangle ACD$, thì tỉ lệ các cạnh tương ứng phải bằng nhau. Nếu $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$ (theo định lý) và $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{AD} = \frac{AD}{CD}$ (nếu đồng dạng), thì ta cần $\frac{BD}{DC} = \frac{BD}{AD}$ (suy ra $DC=AD$) và $\frac{BD}{DC} = \frac{AD}{CD}$ (suy ra $BD=AD$). Như vậy, nếu $AD=BD=DC$, tam giác ABC cân tại A. Nhưng đề bài chỉ hỏi tỉ lệ nếu chúng đồng dạng. Theo định lý phân giác, ta có tỉ lệ $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$. Nếu hai tam giác đồng dạng, thì tỉ lệ các cạnh tương ứng phải bằng nhau. Lựa chọn 2: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} = \frac{AD}{AD}$ là đúng nếu tam giác ABD đồng dạng với tam giác CAD theo thứ tự đó, với AD là cạnh chung tỉ lệ với chính nó là 1. Tuy nhiên, thứ tự đỉnh quan trọng. Nếu $\triangle ABD \sim \triangle ACD$, thì $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} = \frac{AD}{AD}$. Tỉ lệ $\frac{AD}{AD}=1$ là hiển nhiên. Quan trọng là $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$. Điều này đúng theo định lý phân giác. Kết luận: Tỉ lệ các cạnh tương ứng là $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} = \frac{AD}{AD}$ (với AD/AD = 1).
