Trắc nghiệm Kết nối Toán học 11 Bài 17 Hàm số liên tục

Ta tính giới hạn: $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 1+1 = 2$. Ta có $f(1) = 3$. Vì $\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \ne f(1) = 3$, hàm số không liên tục tại $x=1$. Kết luận Hàm số không liên tục tại $x=1$ vì $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ và $f(1) = 3$.

Tập xác định của hàm số $f(x) = \sqrt{x-1}$ là $x-1 \ge 0$, hay $x \ge 1$. Hàm căn bậc hai là hàm liên tục trên tập xác định của nó. Do đó, hàm số liên tục trên khoảng $[1, \infty)$. Kết luận Hàm số này liên tục trên khoảng $[1, \infty)$.

Để hàm số liên tục tại $x=0$, ta cần $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Ta biết giới hạn cơ bản $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$. Do đó, để hàm số liên tục tại $x=0$, ta cần định nghĩa $f(0) = 1$. Kết luận Để hàm số liên tục tại $x=0$, ta cần định nghĩa $f(0)$ bằng 1.

Để hàm số liên tục tại $x=0$, ta cần $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$. Ta có $f(0) = 0$. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0^2 = 0$. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$. Vì $0=0=0$, hàm số liên tục tại $x=0$. Điều kiện $0^2=0$ là đúng. Kết luận Hàm số liên tục tại $x=0$ nếu $0^2 = 0$.

Ta có $f(0) = |0| = 0$. $\lim_{x \to 0^-} |x| = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$. $\lim_{x \to 0^+} |x| = \lim_{x \to 0^+} x = 0$. Vì $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, hàm số liên tục tại $x=0$. Kết luận Hàm số này là liên tục tại $x=0$.

Hàm số không liên tục tại $x_0$ có thể do một trong ba trường hợp: $f(x_0)$ không xác định, $\lim_{x \to x_0} f(x)$ không tồn tại, hoặc $\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)$ (khi cả hai tồn tại). Trường hợp $\lim_{x \to x_0^-} f(x) \ne \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ dẫn đến giới hạn tại $x_0$ không tồn tại, do đó hàm không liên tục. Tuy nhiên, có thể hàm không liên tục mà giới hạn vẫn tồn tại (ví dụ: hàm có gián đoạn loại bỏ được tại $x_0$ nhưng $f(x_0)$ không được định nghĩa hoặc định nghĩa sai). Do đó, mệnh đề Tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$ có thể đúng hoặc sai khi hàm không liên tục, nhưng không phải là điều kiện LUÔN SAI. Các lựa chọn 2, 3, 4 đều chỉ ra các lý do khiến hàm không liên tục hoặc có thể không liên tục. Lựa chọn 1 là SAI vì hàm có thể không liên tục ngay cả khi giới hạn tồn tại. Tuy nhiên, câu hỏi hỏi điều gì SAI. Nếu hàm không liên tục, thì có thể giới hạn tồn tại hoặc không. Nếu giới hạn tồn tại nhưng bằng giá trị khác $f(x_0)$ hoặc $f(x_0)$ không xác định, hàm vẫn không liên tục. Vậy, mệnh đề Tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$ không nhất thiết SAI khi hàm không liên tục. Lựa chọn 2, 3, 4 mô tả các tình huống khiến hàm không liên tục. Vậy, điều SAI là TỒN TẠI GIỚI HẠN. Sửa lại: Nếu hàm số không liên tục tại $x_0$, thì có thể xảy ra các trường hợp: 1) $f(x_0)$ không xác định. 2) $\lim_{x \to x_0} f(x)$ không tồn tại. 3) $\lim_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại nhưng $\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)$. Các lựa chọn 2, 3, 4 đều mô tả một hoặc nhiều điều kiện này. Lựa chọn 1, Tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$, có thể đúng hoặc sai khi hàm không liên tục. Vậy, điều SAI là một mệnh đề mà NẾU nó đúng thì hàm PHẢI liên tục. Tuy nhiên, ở đây câu hỏi là: Nếu hàm không liên tục, thì điều gì SAI?. Điều này có nghĩa là mệnh đề nào sau đây KHÔNG PHẢI là hệ quả của việc hàm không liên tục. Lựa chọn 1 có thể đúng khi hàm không liên tục (gián đoạn loại bỏ được). Lựa chọn 2, 3, 4 là các điều kiện cần hoặc có thể xảy ra khi hàm không liên tục. Vậy, điều SAI là mệnh đề mà sự tồn tại của nó không loại trừ khả năng hàm không liên tục. Sửa lại cách hiểu: Nếu hàm không liên tục tại $x_0$, thì KHÔNG ĐÚNG rằng hàm luôn thỏa mãn điều kiện liên tục. Các lựa chọn 2, 3, 4 là những lý do khiến hàm không liên tục. Lựa chọn 1, Tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$, có thể đúng khi hàm không liên tục (ví dụ: $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ với $f(0)=0$). Do đó, phát biểu 1 không nhất thiết SAI. Phát biểu 2 là SAI nếu hàm liên tục (vì khi liên tục thì $f(x_0)$ phải xác định). Phát biểu 3 là SAI nếu hàm liên tục. Phát biểu 4 là SAI nếu hàm liên tục. Vậy câu hỏi có thể hiểu là: Phát biểu nào SAI về một hàm số KHÔNG LIÊN TỤC tại $x_0$? Nếu hàm không liên tục, thì có thể giới hạn tồn tại (lựa chọn 1). Nếu hàm không liên tục, thì có thể $f(x_0)$ không xác định (lựa chọn 2). Nếu hàm không liên tục, thì có thể $\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)$ (lựa chọn 3). Nếu hàm không liên tục, thì có thể hai giới hạn không bằng nhau (lựa chọn 4). Câu hỏi này hơi khó hiểu. Hãy giả sử nó hỏi Điều nào SAU ĐÂY KHÔNG PHẢI LÀ ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM KHÔNG LIÊN TỤC. Lựa chọn 1, Tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$, không phải là điều kiện để hàm KHÔNG liên tục, vì hàm có thể không liên tục ngay cả khi giới hạn tồn tại. Lựa chọn 2, 3, 4 đều là các điều kiện hoặc hậu quả của việc hàm không liên tục. Vậy, lựa chọn 1 là câu trả lời phù hợp nhất. Sửa lại giải thích: Nếu hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x_0$, thì có thể xảy ra các trường hợp sau: 1) $f(x_0)$ không xác định. 2) $\lim_{x \to x_0} f(x)$ không tồn tại. 3) $\lim_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại nhưng $\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)$. Lựa chọn 1: Tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$. Điều này có thể xảy ra (ví dụ hàm có gián đoạn loại bỏ được). Do đó, mệnh đề này KHÔNG NHẤT THIẾT SAI khi hàm không liên tục. Lựa chọn 2: $f(x_0)$ không xác định. Đây là một lý do khiến hàm không liên tục. Lựa chọn 3: $\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)$. Đây là một lý do khiến hàm không liên tục. Lựa chọn 4: Cả hai giới hạn trái và phải tại $x_0$ đều không bằng nhau. Điều này dẫn đến giới hạn không tồn tại, là một lý do khiến hàm không liên tục. Vậy, điều SAI là mệnh đề mà nếu nó đúng thì hàm vẫn có thể không liên tục. Đó là lựa chọn 1. Kết luận Điều SAI là Tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$.

Để hàm số liên tục tại $x=1$, ta cần $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$. Ta có $f(1) = 1+1 = 2$. $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x) = 2 \times 1 = 2$. $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x+1) = 1+1 = 2$. Vì $2=2=2$, hàm số liên tục tại $x=1$. Điều kiện cần là $1+1 = 2 \times 1$. Kết luận Hàm số liên tục tại $x=1$ nếu $1+1 = 2 \times 1$.

Đây là phát biểu của Định lý Giá trị Trung gian (Intermediate Value Theorem) áp dụng cho hàm liên tục. Định lý này khẳng định rằng nếu một hàm số liên tục trên một khoảng đóng $[a, b]$, thì nó nhận mọi giá trị trung gian giữa $f(a)$ và $f(b)$. Kết luận Định lý về giá trị trung bình cho hàm liên tục nói rằng tồn tại ít nhất một điểm $c \in (a, b)$ sao cho $f(c) = k$.

Ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $-3$: $\lim_{x \to -3} \frac{x^2-9}{x+3} = \lim_{x \to -3} \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = \lim_{x \to -3} (x-3) = -3-3 = -6$. Vì giới hạn tồn tại và hữu hạn nhưng $f(-3)$ không xác định, đây là gián đoạn loại I (có thể loại bỏ). Kết luận Đây là gián đoạn loại I (có thể loại bỏ).

Theo định nghĩa, hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ nếu tồn tại giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến tới $x_0$ và giới hạn đó bằng giá trị của hàm số tại $x_0$. Cụ thể, $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Kết luận Hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0 \in I$ nếu tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$ và $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Mẫu số $x^2+1$ luôn dương với mọi $x \in R$ vì $x^2 \ge 0$ nên $x^2+1 \ge 1$. Do đó, hàm số có tập xác định là $R$. Hàm phân thức hữu tỉ có mẫu số khác 0 trên toàn $R$ thì liên tục trên $R$. Kết luận Hàm số $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ liên tục trên $R$.

Ta cần tính $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$. Sử dụng hằng đẳng thức $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, ta có $x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$. Vậy $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x^2+2x+4) = 2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$. Để hàm số liên tục tại $x=2$, ta cần định nghĩa $f(2) = 12$. Kết luận Để hàm số liên tục tại $x=2$, ta cần định nghĩa $f(2) = 12$.

Để hàm số liên tục tại $x=2$, ta cần $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$. Ta tính giới hạn: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$. Vậy để hàm số liên tục tại $x=2$, ta cần định nghĩa $f(2) = 4$. Kiểm tra lại câu hỏi, tôi đã tính sai giới hạn. $\lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2=4$. Vậy $f(2)$ phải bằng 4. Đáp án 1 (giá trị 2) là sai. Đáp án 2 (giá trị 4) là đúng. Sửa lại: $\lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2=4$. Vậy để hàm số liên tục tại $x=2$, ta cần định nghĩa $f(2) = 4$. Kết luận Để hàm số liên tục tại $x=2$, ta cần định nghĩa $f(2) = 4$.

Các hàm đa thức luôn liên tục trên toàn bộ tập xác định của chúng, tức là trên $R$. Hàm $f(x) = \frac{1}{x-2}$ không liên tục tại $x=2$. Hàm $f(x) = \tan(x)$ không liên tục tại $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ với $k \in Z$. Hàm $f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$ không liên tục tại $x=1$ và $x=-1$. Kết luận Hàm số $f(x) = x^2 - 3x + 1$ liên tục trên tập xác định của nó.

Hàm $f(x) = 2x - 5$, $f(x) = x^3 + x - 1$, $f(x) = \frac{1}{x^2 + 2}$ đều là các hàm đa thức hoặc phân thức hữu tỉ với mẫu số luôn khác 0, do đó chúng liên tục trên $R$. Hàm $f(x) = \lfloor x \rfloor$ (hàm lấy phần nguyên) không liên tục tại các số nguyên. Ví dụ, tại $x=1$, $\lim_{x \to 1^-} \lfloor x \rfloor = 0$ và $\lim_{x \to 1^+} \lfloor x \rfloor = 1$, nên hàm số không liên tục tại $x=1$. Kết luận Hàm số $f(x) = \lfloor x \rfloor$ không liên tục trên $R$.