1. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là $a=7$, $b=5$, $c=8$. Tính độ dài đường trung tuyến $m_a$ ứng với cạnh $a$?
A. $m_a = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(5^2) + 2(8^2) - 7^2}{4}} = \sqrt{\frac{50 + 128 - 49}{4}} = \sqrt{\frac{129}{4}}$
B. $m_a = \sqrt{\frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(7^2) + 2(8^2) - 5^2}{4}} = \sqrt{\frac{98 + 128 - 25}{4}} = \sqrt{\frac{201}{4}}$
C. $m_a = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(7^2) + 2(5^2) - 8^2}{4}} = \sqrt{\frac{98 + 50 - 64}{4}} = \sqrt{\frac{84}{4}} = \sqrt{21}$
D. $m_a = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 + a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(5^2) + 2(8^2) + 7^2}{4}} = \sqrt{\frac{50 + 128 + 49}{4}} = \sqrt{\frac{227}{4}}$
2. Cho tam giác ABC có $AB=c=5$, $AC=b=7$, $BC=a=8$. Tính $\cos B$?
A. $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2(8)(5)} = \frac{64 + 25 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$
B. $\cos B = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{7^2 + 5^2 - 8^2}{2(7)(5)} = \frac{49 + 25 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$
C. $\cos B = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{8^2 + 7^2 - 5^2}{2(8)(7)} = \frac{64 + 49 - 25}{112} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14}$
D. $\cos B = \frac{a^2 + c^2 + b^2}{2ac} = \frac{8^2 + 5^2 + 7^2}{2(8)(5)} = \frac{64 + 25 + 49}{80} = \frac{138}{80} = \frac{69}{40}$
3. Cho tam giác ABC, biết $a=7$, $b=5$, $c=8$. Tính độ dài đường trung tuyến $m_b$ ứng với cạnh $b$?
A. $m_b = \sqrt{\frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(7^2) + 2(8^2) - 5^2}{4}} = \sqrt{\frac{98 + 128 - 25}{4}} = \sqrt{\frac{201}{4}}$
B. $m_b = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(7^2) + 2(5^2) - 8^2}{4}} = \sqrt{\frac{98 + 50 - 64}{4}} = \sqrt{\frac{84}{4}} = \sqrt{21}$
C. $m_b = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(5^2) + 2(8^2) - 7^2}{4}} = \sqrt{\frac{50 + 128 - 49}{4}} = \sqrt{\frac{129}{4}}$
D. $m_b = \sqrt{\frac{2a^2 + 2c^2 + b^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(7^2) + 2(8^2) + 5^2}{4}} = \sqrt{\frac{98 + 128 + 25}{4}} = \sqrt{\frac{251}{4}}$
4. Cho tam giác ABC, nếu $a=5$, $b=6$, $c=7$, thì cosin của góc lớn nhất trong tam giác là bao nhiêu?
A. Góc lớn nhất đối diện với cạnh lớn nhất là cạnh $c=7$. Ta tính $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2(5)(6)} = \frac{25 + 36 - 49}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$
B. Góc lớn nhất đối diện với cạnh lớn nhất là cạnh $c=7$. Ta tính $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2(5)(6)} = \frac{25 + 36 - 49}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$
C. Góc lớn nhất đối diện với cạnh lớn nhất là cạnh $c=7$. Ta tính $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2(5)(6)} = \frac{25 + 36 - 49}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$
D. Góc lớn nhất đối diện với cạnh lớn nhất là cạnh $c=7$. Ta tính $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2(5)(6)} = \frac{25 + 36 - 49}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$
5. Nếu một tam giác có ba cạnh là 3, 4, 6 thì tam giác đó thuộc loại nào?
A. Tam giác vuông
B. Tam giác tù
C. Tam giác nhọn
D. Không phải tam giác
6. Hai con tàu rời bến cùng một lúc. Tàu thứ nhất đi về phía Bắc với vận tốc 30 hải lý/giờ. Tàu thứ hai đi về phía Đông với vận tốc 40 hải lý/giờ. Sau 3 giờ, khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu?
A. Sau 3 giờ, tàu thứ nhất đi được $30 imes 3 = 90$ hải lý. Tàu thứ hai đi được $40 imes 3 = 120$ hải lý. Hai hướng đi vuông góc nhau. Khoảng cách là cạnh huyền của tam giác vuông: $d = \sqrt{90^2 + 120^2} = \sqrt{8100 + 14400} = \sqrt{22500} = 150$ hải lý.
B. Sau 3 giờ, tàu thứ nhất đi được $30 imes 3 = 90$ hải lý. Tàu thứ hai đi được $40 imes 3 = 120$ hải lý. Khoảng cách là $d = 90 + 120 = 210$ hải lý.
C. Sau 3 giờ, tàu thứ nhất đi được $30 imes 3 = 90$ hải lý. Tàu thứ hai đi được $40 imes 3 = 120$ hải lý. Khoảng cách là $d = 120 - 90 = 30$ hải lý.
D. Sau 3 giờ, tàu thứ nhất đi được $30 imes 3 = 90$ hải lý. Tàu thứ hai đi được $40 imes 3 = 120$ hải lý. Khoảng cách là $d = \sqrt{90^2 - 120^2}$ (không hợp lệ).
7. Cho tam giác ABC, với $a=8$, $b=6$, $c=7$. Tính bán kính đường tròn nội tiếp $r$ của tam giác.
A. Nửa chu vi $p = \frac{8+6+7}{2} = \frac{21}{2}$. $\cos A = \frac{6^2+7^2-8^2}{2(6)(7)} = \frac{36+49-64}{84} = \frac{21}{84} = \frac{1}{4}$. $\sin A = \sqrt{1 - (1/4)^2} = \sqrt{1 - 1/16} = \sqrt{15/16} = \frac{\sqrt{15}}{4}$. Diện tích $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}(6)(7)\frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{21\sqrt{15}}{4}$. $r = S/p = \frac{21\sqrt{15}/4}{21/2} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.
B. Nửa chu vi $p = \frac{8+6+7}{2} = \frac{21}{2}$. $\cos B = \frac{8^2+7^2-6^2}{2(8)(7)} = \frac{64+49-36}{112} = \frac{77}{112} = \frac{11}{16}$. $\sin B = \sqrt{1 - (11/16)^2} = \sqrt{1 - 121/256} = \sqrt{135/256} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$. Diện tích $S = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}(8)(7)\frac{3\sqrt{15}}{16} = 28 \frac{3\sqrt{15}}{16} = \frac{7 \times 3\sqrt{15}}{4} = \frac{21\sqrt{15}}{4}$. $r = S/p = \frac{21\sqrt{15}/4}{21/2} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.
C. Nửa chu vi $p = \frac{8+6+7}{2} = \frac{21}{2}$. $\cos C = \frac{8^2+6^2-7^2}{2(8)(6)} = \frac{64+36-49}{96} = \frac{51}{96} = \frac{17}{32}$. $\sin C = \sqrt{1 - (17/32)^2} = \sqrt{1 - 289/1024} = \sqrt{735/1024} = \frac{7\sqrt{15}}{32}$. Diện tích $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}(8)(6)\frac{7\sqrt{15}}{32} = 24 \frac{7\sqrt{15}}{32} = \frac{3 \times 7\sqrt{15}}{4} = \frac{21\sqrt{15}}{4}$. $r = S/p = \frac{21\sqrt{15}/4}{21/2} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.
D. Nửa chu vi $p = \frac{8+6+7}{2} = \frac{21}{2}$. Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\frac{21}{2}(\frac{21}{2}-8)(\frac{21}{2}-6)(\frac{21}{2}-7)} = \sqrt{\frac{21}{2}(\frac{5}{2})(\frac{9}{2})(\frac{7}{2})} = \sqrt{\frac{21 imes 5 imes 9 imes 7}{16}} = \sqrt{\frac{6174}{16}}$. Sai số. $p-a = \frac{21-16}{2} = \frac{5}{2}$. $p-b = \frac{21-12}{2} = \frac{9}{2}$. $p-c = \frac{21-14}{2} = \frac{7}{2}$. $S = \sqrt{\frac{21}{2} \frac{5}{2} \frac{9}{2} \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{3 imes 7 imes 5 imes 3^2 imes 7}{16}} = \sqrt{\frac{3^3 imes 7^2 imes 5}{16}}$. Sai. $S = \sqrt{\frac{21}{2}\frac{5}{2}\frac{9}{2}\frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{6174}{16}}$. Kiểm tra lại. $S = \sqrt{\frac{21}{2}(\frac{5}{2})(\frac{9}{2})(\frac{7}{2})} = \sqrt{\frac{21 imes 5 imes 9 imes 7}{16}} = \frac{\sqrt{6174}}{4}$. $6174 = 9 imes 686 = 9 imes 2 imes 343 = 9 imes 2 imes 7^3$. Sai. $S = \sqrt{\frac{21}{2}\frac{5}{2}\frac{9}{2}\frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{3 imes 7 imes 5 imes 3^2 imes 7}{16}} = \sqrt{\frac{3^3 imes 5 imes 7^2}{16}}$. Lỗi tính toán. $S = \sqrt{\frac{21 imes 5 imes 9 imes 7}{16}} = \frac{\sqrt{6174}}{4}$. Thử lại Heron: $p = 10.5$. $p-a = 2.5$. $p-b = 4.5$. $p-c = 3.5$. $S = \sqrt{10.5 imes 2.5 imes 4.5 imes 3.5} = \sqrt{413.4375}$. $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\frac{21}{2}\frac{5}{2}\frac{9}{2}\frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{6174}{16}} = \frac{\sqrt{6174}}{4}$. $6174 = 2 imes 3087 = 2 imes 3 imes 1029 = 2 imes 3 imes 3 imes 343 = 2 imes 3^2 imes 7^3$. Sai. $S = \sqrt{\frac{21}{2} \frac{5}{2} \frac{9}{2} \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{3 imes 7}{2} \frac{5}{2} \frac{3^2}{2} \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{3^3 imes 5 imes 7^2}{16}} = \frac{7 imes 3 \sqrt{3 imes 5}}{4} = \frac{21\sqrt{15}}{4}$. $r = S/p = \frac{21\sqrt{15}/4}{21/2} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.
8. Cho tam giác ABC, biết $a=6$, $b=8$, $c=10$. Tính diện tích tam giác đó.
A. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$. Tam giác vuông tại A. Diện tích $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(6)(8) = 24$.
B. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$. Tam giác vuông tại B. Diện tích $S = \frac{1}{2}ac = \frac{1}{2}(6)(10) = 30$.
C. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$. Tam giác vuông tại C. Diện tích $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(6)(8) = 24$.
D. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \neq 10^2$. Không phải tam giác vuông.
9. Một khu đất hình tam giác có các cạnh đo được là 100m, 120m, 150m. Tính chu vi của khu đất đó.
A. Chu vi = $100 + 120 + 150 = 370$ m.
B. Chu vi = $100 + 120 + 150 = 370$ mét.
C. Chu vi = $100 + 120 + 150 = 370$ mét.
D. Chu vi = $100 + 120 + 150 = 370$ mét.
10. Cho tam giác ABC, biết $a=10$, $b=12$, $c=14$. Tính $\cos A$?
A. $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{12^2 + 14^2 - 10^2}{2(12)(14)} = \frac{144 + 196 - 100}{336} = \frac{240}{336} = \frac{5}{7}$
B. $\cos A = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{10^2 + 14^2 - 12^2}{2(10)(14)} = \frac{100 + 196 - 144}{280} = \frac{152}{280} = \frac{19}{35}$
C. $\cos A = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{10^2 + 12^2 - 14^2}{2(10)(12)} = \frac{100 + 144 - 196}{240} = \frac{48}{240} = \frac{1}{5}$
D. $\cos A = \frac{b^2 + c^2 + a^2}{2bc} = \frac{12^2 + 14^2 + 10^2}{2(12)(14)} = \frac{144 + 196 + 100}{336} = \frac{440}{336} = \frac{55}{42}$
11. Một người đi bộ 3 km về phía Đông, sau đó rẽ trái và đi thêm 4 km. Khoảng cách từ điểm bắt đầu đến điểm kết thúc là bao nhiêu?
A. Khoảng cách = $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ km.
B. Khoảng cách = $3+4 = 7$ km.
C. Khoảng cách = $\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7}$ km.
D. Khoảng cách = $4-3 = 1$ km.
12. Trong một tam giác ABC, nếu biết $a=10$, $b=12$, $\sin A = 0.6$. Tính $\sin B$?
A. $\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{12 \times 0.6}{10} = \frac{7.2}{10} = 0.72$
B. $\sin B = \frac{a \sin A}{b} = \frac{10 imes 0.6}{12} = \frac{6}{12} = 0.5$
C. $\sin B = \frac{a \sin B}{b} = \frac{10}{12} \times 0.6 = 0.5$
D. $\sin B = \frac{b \sin B}{a} = \frac{12}{10} \times 0.6 = 0.72$
13. Cho tam giác ABC, biết $AB=c=6$, $BC=a=7$, $AC=b=8$. Tính $\cos C$?
A. $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 8^2 - 6^2}{2(7)(8)} = \frac{49 + 64 - 36}{112} = \frac{77}{112} = \frac{11}{16}$
B. $\cos C = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 6^2 - 8^2}{2(7)(6)} = \frac{49 + 36 - 64}{84} = \frac{21}{84} = \frac{1}{4}$
C. $\cos C = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 6^2 - 7^2}{2(8)(6)} = \frac{64 + 36 - 49}{96} = \frac{51}{96} = \frac{17}{32}$
D. $\cos C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 8^2 + 6^2}{2(7)(8)} = \frac{49 + 64 + 36}{112} = \frac{149}{112}$
14. Định lý Cosin phát biểu rằng trong tam giác ABC, mối quan hệ giữa các cạnh và một góc là gì?
A. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
B. $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A$
C. $a = b \cos C + c \cos B$
D. $a^2 = b^2 - c^2 - 2bc \cos A$
15. Trong một tam giác ABC, nếu biết độ dài ba cạnh $a=3$, $b=4$, $c=5$, thì loại tam giác này là gì?
A. Tam giác vuông cân
B. Tam giác tù
C. Tam giác nhọn
D. Tam giác vuông
