1. Trong tam giác $ABC$, nếu $BD$ là tia phân giác của góc $B$ ($D$ thuộc $AC$), thì theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có tỉ lệ nào sau đây?
A. $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$
B. $\frac{AC}{CD} = \frac{AB}{BD}$
C. $\frac{AD}{AB} = \frac{DC}{BC}$
D. $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DC}$
2. Cho tam giác $ABC$. Điểm $D$ thuộc cạnh $AB$, điểm $E$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $DE \parallel BC$. Nếu $AD = 3$ cm, $DB = 6$ cm và $AE = 4$ cm, độ dài cạnh $EC$ là bao nhiêu?
A. 8 cm
B. 12 cm
C. 6 cm
D. 9 cm
3. Định lý Thales trong tam giác phát biểu rằng: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Phát biểu nào sau đây là **sai**?
A. Nếu $DE \parallel BC$ ($D$ trên $AB$, $E$ trên $AC$) thì $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$.
B. Nếu $DE \parallel BC$ ($D$ trên $AB$, $E$ trên $AC$) thì $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
C. Nếu $DE \parallel BC$ ($D$ trên $AB$, $E$ trên $AC$) thì $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$.
D. Nếu $DE \parallel BC$ ($D$ trên $AB$, $E$ trên $AC$) thì $\frac{AD}{AB} = \frac{EC}{AC}$.
4. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại, thì nó tạo ra các đoạn thẳng tỉ lệ. Điều này được gọi là gì?
A. Định lý Pitago
B. Định lý Thales
C. Định lý Talet
D. Định lý đường trung bình
5. Trong tam giác $ABC$, đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB$ tại $D$ và $AC$ tại $E$. Nếu $AB = 10$ cm, $AD = 4$ cm, $AE = 5$ cm, thì độ dài $AC$ là bao nhiêu?
A. 12.5 cm
B. 10 cm
C. 15 cm
D. 8 cm
6. Trong một tam giác, nếu hai đường thẳng song song cắt hai cạnh của tam giác, thì chúng định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng có tính chất gì?
A. Tỉ lệ với nhau
B. Bằng nhau
C. Tỉ lệ với cạnh thứ ba
D. Không có quan hệ gì
7. Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $AC$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $MN$ cắt $BC$ tại trung điểm của $BC$.
B. $MN \parallel BC$ và $MN = \frac{1}{2} BC$.
C. $MN$ không song song với $BC$ và $MN \ne \frac{1}{2} BC$.
D. $MN \parallel BC$ nhưng $MN > \frac{1}{2} BC$.
8. Cho tam giác $ABC$, $D$ trên $AB$, $E$ trên $AC$. Nếu $\frac{AD}{DB} = \frac{2}{3}$ và $\frac{AE}{EC} = \frac{4}{5}$, thì $DE$ có song song với $BC$ không?
A. Có, vì $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
B. Không, vì $\frac{AD}{DB} \ne \frac{AE}{EC}$
C. Có, vì $AD+DB = AE+EC$
D. Không thể xác định.
9. Cho $AM$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ ($M$ thuộc $BC$). Nếu có một đường thẳng song song với $AM$ cắt $AB$ tại $P$ và $AC$ tại $Q$, thì tỉ lệ nào sau đây đúng?
A. $\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC}$
B. $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
C. $\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{QC}$
D. Cả A và B đều đúng
10. Cho tam giác $ABC$ có $D$ trên $AB$, $E$ trên $AC$ sao cho $DE \parallel BC$. Hệ thức nào sau đây **không** đúng?
A. $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$
B. $\frac{DB}{AB} = \frac{EC}{AC}$
C. $\frac{AD}{AE} = \frac{DB}{EC}$
D. $\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{EC}$
11. Cho tam giác $ABC$ có $AB=8$, $AC=12$. Đường thẳng $d$ song song với $BC$ cắt $AB$ tại $D$ và $AC$ tại $E$ sao cho $AD=2$. Tìm độ dài $AE$ và $EC$.
A. $AE=3$, $EC=9$
B. $AE=3$, $EC=12$
C. $AE=4$, $EC=8$
D. $AE=2$, $EC=10$
12. Cho tam giác $ABC$ với điểm $D$ trên $AB$ và điểm $E$ trên $AC$. Nếu $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{2}{3}$, thì kết luận nào sau đây là đúng?
A. $DE$ cắt $BC$ tại một điểm.
B. $DE \parallel BC$.
C. $DE$ không song song với $BC$.
D. $DE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.
13. Trong tam giác $ABC$, $AD$ là đường phân giác của góc $A$, với $D$ thuộc $BC$. Nếu $AB = 6$ cm, $AC = 9$ cm và $BD = 4$ cm, thì độ dài $DC$ là bao nhiêu?
A. 6 cm
B. 5 cm
C. 7 cm
D. 8 cm
14. Tam giác $ABC$ có cạnh $BC$ song song với đường thẳng $d$. Nếu $d$ cắt $AB$ tại $M$ và $AC$ tại $N$, thì điều kiện nào đảm bảo $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$?
A. $MN$ cắt $BC$ tại một điểm.
B. $MN \parallel BC$.
C. $M$ là trung điểm $AB$ và $N$ là trung điểm $AC$.
D. $MN$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.
15. Cho tam giác $ABC$. Một đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB$ tại $D$ và $AC$ tại $E$ sao cho $BD = 2AD$ và $CE = 2AE$. Tỉ lệ $\frac{AD}{AB}$ bằng bao nhiêu?
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{3}{2}$
