Category:
Trắc nghiệm Cánh diều Toán học 12 bài tập cuối chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Tags:
Bộ đề 1
2. Đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 1$ có tâm đối xứng là điểm nào?
Ta tìm điểm uốn của đồ thị hàm số. Đạo hàm bậc nhất là $y = 3x^2 - 6x$. Đạo hàm bậc hai là $y = 6x - 6$. Cho $y = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Tại $x=1$, $y(x)$ đổi dấu từ âm sang dương. Vậy đồ thị có điểm uốn tại $x=1$. Giá trị $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$. Điểm uốn là $(1, -1)$. Tuy nhiên, tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$ là điểm uốn. Ta kiểm tra lại: $y=x^3-3x^2+1$. Đặt $X = x-1$, $Y = y - y(1) = y - (-1) = y+1$. Khi đó $x = X+1$. Thay vào phương trình: $Y-1 = (X+1)^3 - 3(X+1)^2 + 1 = (X^3 + 3X^2 + 3X + 1) - 3(X^2 + 2X + 1) + 1 = X^3 + 3X^2 + 3X + 1 - 3X^2 - 6X - 3 + 1 = X^3 - 3X - 1$. Vậy $Y = X^3 - 3X$. Đây là hàm lẻ theo biến $X$, có tâm đối xứng tại gốc tọa độ $(0,0)$ của hệ tọa độ $(X, Y)$. Do đó, tâm đối xứng trong hệ tọa độ $(x, y)$ là điểm uốn $(1, -1)$. Kiểm tra lại đề bài và đáp án. Có vẻ có lỗi trong tính toán hoặc đáp án. Tính toán lại $y(1) = 1 - 3 + 1 = -1$. Điểm uốn là $(1, -1)$. Xem lại các lựa chọn. Có thể có lỗi đánh máy trong câu hỏi hoặc đáp án. Giả sử câu hỏi đúng. Nếu tâm đối xứng là $(1, -1)$, thì $y(1) = -1$. Tuy nhiên, $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 1 = -1$. Điểm uốn là $(1, -1)$. Đáp án 1 là $(1, -1)$. Đáp án 2 là $(1, -2)$. Có thể có nhầm lẫn. Tính toán lại $y=6x-6$. $y(1)=0$. $y(1)=1-3+1=-1$. Điểm uốn là $(1,-1)$. Có vẻ đáp án 1 là đúng. Tuy nhiên, trong một số tài liệu, ta cần kiểm tra tính đối xứng. Ta có $y=x^3-3x^2+1$. $y=3x^2-6x$. $y=6x-6$. Điểm uốn tại $x=1$, $y(1)=-1$. Đặt $x=1+u$, $y = (1+u)^3 - 3(1+u)^2 + 1 = (1+3u+3u^2+u^3) - 3(1+2u+u^2) + 1 = 1+3u+3u^2+u^3 - 3-6u-3u^2 + 1 = u^3 - 3u - 1$. Vậy $y+1 = u^3-3u$. Đây là hàm lẻ theo $u$. Do đó tâm đối xứng là $(1, -1)$. Đáp án 1 là $(1, -1)$. Đáp án 2 là $(1, -2)$. Có thể có nhầm lẫn trong việc tính giá trị $y$ tại điểm uốn hoặc trong các lựa chọn. Kiểm tra lại $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 1 = 1-3+1 = -1$. Vậy điểm uốn là $(1, -1)$. Kết luận Điểm uốn của đồ thị hàm số là $(1, -1)$ và nó cũng là tâm đối xứng.
