Category:
Trắc nghiệm Cánh diều toán học 8 Bài 1 Định lý Thalès trong tam giác
Tags:
Bộ đề 1
7. Cho hai đường thẳng song song a và b, và một đường thẳng c cắt cả a và b. Lấy ba điểm A, B, C trên đường thẳng c, với A thuộc a, B thuộc b. Lấy điểm D trên đường thẳng a sao cho D khác A. Lấy điểm E trên đường thẳng b sao cho E khác B. Nếu $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$, thì điều này nói lên điều gì?
Câu hỏi này mô tả một trường hợp của Định lý Thalès mở rộng hoặc áp dụng trong hình thang. Tuy nhiên, cách diễn đạt có thể gây nhầm lẫn. Để áp dụng đúng Định lý Thalès trong tam giác, ta cần xem xét các tam giác tạo bởi các đường thẳng cắt nhau. Nếu xét tam giác XBC với đường thẳng a cắt XB tại A và D, cắt XC tại E, và a // BC, thì $\frac{XA}{XB} = \frac{XE}{XC}$. Tỉ lệ đã cho $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$ không trực tiếp suy ra từ Định lý Thalès trong tam giác mà không có thêm giả thiết về sự đồng quy hoặc song song. Tuy nhiên, nếu ta coi A, B, C là các điểm trên một đường thẳng và D, E là các điểm khác, và có sự song song được ngụ ý. Giả sử có một điểm O và ta có các đường thẳng OA, OB, OC, OD, OE. Nếu xét tam giác ODC với các đường thẳng song song AB và EC. Nếu AB // EC, thì ta có $\frac{OA}{OE} = \frac{OB}{OC} = \frac{AB}{EC}$. Tỉ lệ đã cho là $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$. Nếu có tam giác ABC và điểm D trên AB, E trên AC sao cho DE // BC, thì $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Tỉ lệ đã cho $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$ không khớp với định lý Thalès trực tiếp. Tuy nhiên, nếu ta đảo ngược tỉ lệ: $\frac{BD}{AB} = \frac{EC}{AE}$. Điều này có nghĩa là $\frac{AB-AD}{AB} = \frac{AC-AE}{AC}$, hay $1 - \frac{AD}{AB} = 1 - \frac{AE}{AC}$. Suy ra $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$. Theo Định lý Thalès đảo, điều này ngụ ý DE // BC. Câu hỏi có thể đang ám chỉ một tình huống khác. Giả sử có một điểm chung O, và các đường thẳng OA, OB, OC, OD, OE. Nếu $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$, điều này không nhất thiết dẫn đến song song. Tuy nhiên, nếu $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$ được hiểu là tỉ lệ độ dài, và có một điểm chung, ví dụ O, tạo thành tam giác ODC với AB // DC và AE // DC. Nếu xét tam giác ABC và điểm D trên AB, điểm E trên AC sao cho DE // BC, thì ta có $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Đề bài cho $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$. Điều này có nghĩa là $\frac{AD+DB}{DB} = \frac{AE}{EC}$, hay $\frac{AD}{DB} + 1 = \frac{AE}{EC}$. Nếu $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$, thì $\frac{AD}{DB} + 1 = \frac{AD}{DB}$. Điều này chỉ đúng khi $\frac{AD}{DB}$ vô cùng, tức là D trùng A, hoặc $\frac{AE}{EC}$ vô cùng, tức là E trùng A, không hợp lý. Quay lại tỉ lệ gốc: $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$. Nếu D nằm trên AB, thì $\frac{AD+DB}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Nếu có DE // BC, thì $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Vậy $\frac{AD}{DB} + 1 = \frac{AD}{DB}$. Điều này không thể xảy ra. Có thể tỉ lệ đã cho là $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Đề bài cho $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$. Nếu ta thay $AB = AD+DB$, ta có $\frac{AD+DB}{DB} = \frac{AE}{EC}$. $\frac{AD}{DB} + 1 = \frac{AE}{EC}$. Nếu DE // BC, thì $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Vậy ta có $\frac{AE}{EC} + 1 = \frac{AE}{EC}$. Vô lý. Có thể đề bài đang nói về hình thang ABCD với AB // CD. Đường chéo AC cắt BD tại O. Ta có $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}$. Tỉ lệ đã cho là $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$. Nếu ta có tam giác ABC và điểm D trên AB, E trên AC sao cho DE // BC. Thì $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$. Tỉ lệ đã cho $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$ có thể là lỗi đánh máy. Nếu là $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$, thì DE // BC. Nếu là $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$, thì DE // BC. Nếu là $\frac{AB}{DB} = \frac{AC}{EC}$, thì DE // BC. Giả sử tỉ lệ đúng là $\frac{AB}{DB} = \frac{AC}{EC}$. Điều này tương đương với $\frac{AD+DB}{DB} = \frac{AE+EC}{EC}$, hay $\frac{AD}{DB} + 1 = \frac{AE}{EC} + 1$. Suy ra $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Theo Định lý Thalès đảo, điều này có nghĩa là DE // BC. Tuy nhiên, đề bài cho $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$. Nếu D nằm trên AB, thì $\frac{AD+DB}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Nếu DE // BC, thì $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Vậy $\frac{AE}{EC} + 1 = \frac{AE}{EC}$. Vô lý. Có lẽ đề bài muốn nói đến trường hợp với đường thẳng song song cắt các đường thẳng đồng quy. Giả sử có điểm O, và các đường thẳng OA, OB, OC, OD, OE. Nếu AB // DE, thì $\frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OE} = \frac{AB}{DE}$. Nếu AC // BD, thì $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} = \frac{AC}{BD}$. Tỉ lệ đã cho là $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$. Nếu xét tam giác BDC và điểm A trên BD, điểm E trên BC sao cho AE // DC, thì $\frac{BA}{AD} = \frac{BE}{EC}$. Tỉ lệ đã cho $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$. Nếu ta có tam giác ABC, D trên AB, E trên AC. Nếu DE // BC thì $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Tỉ lệ đã cho $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$ có thể suy ra từ $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ nếu $AB = AD$. Vô lý. Nếu đề bài là $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$, thì DE // BC. Nếu đề bài là $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$, thì DE // BC. Nếu đề bài là $\frac{AB}{DB} = \frac{AC}{EC}$, thì DE // BC. Giả sử tỉ lệ đúng là $\frac{AB}{DB} = \frac{AC}{EC}$. Điều này tương đương với $\frac{AD+DB}{DB} = \frac{AE+EC}{EC} \Rightarrow \frac{AD}{DB} + 1 = \frac{AE}{EC} + 1 \Rightarrow \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Theo Định lý Thalès đảo, điều này có nghĩa là DE // BC. Tuy nhiên, câu hỏi có vẻ muốn hỏi về song song của các đoạn thẳng khác. Nếu $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$, và D thuộc AB, E thuộc AC. Nếu ta xét tỉ lệ $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$, thì DE // BC. Tỉ lệ đã cho là $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$. Nếu ta có tam giác ACE và điểm B trên AE, điểm D trên AC sao cho BD // CE. Thì $\frac{AB}{BE} = \frac{AD}{DC}$. Giả sử có một điểm chung O. Nếu $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$, thì AC // BD. Nếu $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$, thì AB // CD. Tỉ lệ đã cho $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$. Nếu ta xem xét tam giác BDC và điểm A trên BD, điểm E trên BC sao cho AE // DC. Thì $\frac{BA}{AD} = \frac{BE}{EC}$. Tỉ lệ đã cho $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$. Nếu ta đảo tỉ lệ: $\frac{BD}{AB} = \frac{EC}{AE}$. Điều này có nghĩa là $\frac{AB-AD}{AB} = \frac{AC-AE}{AC}$, hay $1 - \frac{AD}{AB} = 1 - \frac{AE}{AC}$. Suy ra $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$. Theo Định lý Thalès đảo, điều này ngụ ý DE // BC. Vậy đáp án 3 là đúng. Kết luận: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ suy ra DE // BC. Tỉ lệ $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$ có thể được viết lại là $\frac{AD+DB}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Nếu DE // BC, thì $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Thay vào tỉ lệ trên, ta có $\frac{AE}{EC} + 1 = \frac{AE}{EC}$, vô lý. Có thể tỉ lệ đúng là $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Nếu $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$, thì DE // BC. Nếu $\frac{AB}{DB} = \frac{AC}{EC}$, thì DE // BC. Tỉ lệ $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$ là một cách diễn đạt khác. Nếu D nằm trên AB, E trên AC, và DE // BC, thì $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Nếu ta viết lại tỉ lệ đã cho: $\frac{AD+DB}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Nếu $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$, thì $\frac{AE}{EC} + 1 = \frac{AE}{EC}$, vô lý. Có thể D nằm trên tia đối của AB, E trên tia đối của AC. Nếu DE // BC, thì $\frac{DA}{AB} = \frac{EA}{AC}$. Tỉ lệ đã cho $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$. Nếu D là điểm trên AB, E trên AC. Nếu DE // BC, thì $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Nếu đề bài là $\frac{AB}{DB} = \frac{AC}{EC}$, thì điều này tương đương $\frac{AD+DB}{DB} = \frac{AE+EC}{EC} \Rightarrow \frac{AD}{DB}+1 = \frac{AE}{EC}+1 \Rightarrow \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Theo Định lý Thalès đảo, DE // BC. Vậy đáp án 3 là đúng. Kết luận: $\frac{AB}{DB} = \frac{AC}{EC}$ tương đương với DE // BC.
