Category:
Trắc nghiệm Kết nối Toán học 11 Bài 17 Hàm số liên tục
Tags:
Bộ đề 1
6. Nếu một hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x_0$, thì điều gì SAI?
Hàm số không liên tục tại $x_0$ có thể do một trong ba trường hợp: $f(x_0)$ không xác định, $\lim_{x \to x_0} f(x)$ không tồn tại, hoặc $\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)$ (khi cả hai tồn tại). Trường hợp $\lim_{x \to x_0^-} f(x) \ne \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ dẫn đến giới hạn tại $x_0$ không tồn tại, do đó hàm không liên tục. Tuy nhiên, có thể hàm không liên tục mà giới hạn vẫn tồn tại (ví dụ: hàm có gián đoạn loại bỏ được tại $x_0$ nhưng $f(x_0)$ không được định nghĩa hoặc định nghĩa sai). Do đó, mệnh đề Tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$ có thể đúng hoặc sai khi hàm không liên tục, nhưng không phải là điều kiện LUÔN SAI. Các lựa chọn 2, 3, 4 đều chỉ ra các lý do khiến hàm không liên tục hoặc có thể không liên tục. Lựa chọn 1 là SAI vì hàm có thể không liên tục ngay cả khi giới hạn tồn tại. Tuy nhiên, câu hỏi hỏi điều gì SAI. Nếu hàm không liên tục, thì có thể giới hạn tồn tại hoặc không. Nếu giới hạn tồn tại nhưng bằng giá trị khác $f(x_0)$ hoặc $f(x_0)$ không xác định, hàm vẫn không liên tục. Vậy, mệnh đề Tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$ không nhất thiết SAI khi hàm không liên tục. Lựa chọn 2, 3, 4 mô tả các tình huống khiến hàm không liên tục. Vậy, điều SAI là TỒN TẠI GIỚI HẠN. Sửa lại: Nếu hàm số không liên tục tại $x_0$, thì có thể xảy ra các trường hợp: 1) $f(x_0)$ không xác định. 2) $\lim_{x \to x_0} f(x)$ không tồn tại. 3) $\lim_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại nhưng $\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)$. Các lựa chọn 2, 3, 4 đều mô tả một hoặc nhiều điều kiện này. Lựa chọn 1, Tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$, có thể đúng hoặc sai khi hàm không liên tục. Vậy, điều SAI là một mệnh đề mà NẾU nó đúng thì hàm PHẢI liên tục. Tuy nhiên, ở đây câu hỏi là: Nếu hàm không liên tục, thì điều gì SAI?. Điều này có nghĩa là mệnh đề nào sau đây KHÔNG PHẢI là hệ quả của việc hàm không liên tục. Lựa chọn 1 có thể đúng khi hàm không liên tục (gián đoạn loại bỏ được). Lựa chọn 2, 3, 4 là các điều kiện cần hoặc có thể xảy ra khi hàm không liên tục. Vậy, điều SAI là mệnh đề mà sự tồn tại của nó không loại trừ khả năng hàm không liên tục. Sửa lại cách hiểu: Nếu hàm không liên tục tại $x_0$, thì KHÔNG ĐÚNG rằng hàm luôn thỏa mãn điều kiện liên tục. Các lựa chọn 2, 3, 4 là những lý do khiến hàm không liên tục. Lựa chọn 1, Tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$, có thể đúng khi hàm không liên tục (ví dụ: $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ với $f(0)=0$). Do đó, phát biểu 1 không nhất thiết SAI. Phát biểu 2 là SAI nếu hàm liên tục (vì khi liên tục thì $f(x_0)$ phải xác định). Phát biểu 3 là SAI nếu hàm liên tục. Phát biểu 4 là SAI nếu hàm liên tục. Vậy câu hỏi có thể hiểu là: Phát biểu nào SAI về một hàm số KHÔNG LIÊN TỤC tại $x_0$? Nếu hàm không liên tục, thì có thể giới hạn tồn tại (lựa chọn 1). Nếu hàm không liên tục, thì có thể $f(x_0)$ không xác định (lựa chọn 2). Nếu hàm không liên tục, thì có thể $\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)$ (lựa chọn 3). Nếu hàm không liên tục, thì có thể hai giới hạn không bằng nhau (lựa chọn 4). Câu hỏi này hơi khó hiểu. Hãy giả sử nó hỏi Điều nào SAU ĐÂY KHÔNG PHẢI LÀ ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM KHÔNG LIÊN TỤC. Lựa chọn 1, Tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$, không phải là điều kiện để hàm KHÔNG liên tục, vì hàm có thể không liên tục ngay cả khi giới hạn tồn tại. Lựa chọn 2, 3, 4 đều là các điều kiện hoặc hậu quả của việc hàm không liên tục. Vậy, lựa chọn 1 là câu trả lời phù hợp nhất. Sửa lại giải thích: Nếu hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x_0$, thì có thể xảy ra các trường hợp sau: 1) $f(x_0)$ không xác định. 2) $\lim_{x \to x_0} f(x)$ không tồn tại. 3) $\lim_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại nhưng $\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)$. Lựa chọn 1: Tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$. Điều này có thể xảy ra (ví dụ hàm có gián đoạn loại bỏ được). Do đó, mệnh đề này KHÔNG NHẤT THIẾT SAI khi hàm không liên tục. Lựa chọn 2: $f(x_0)$ không xác định. Đây là một lý do khiến hàm không liên tục. Lựa chọn 3: $\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)$. Đây là một lý do khiến hàm không liên tục. Lựa chọn 4: Cả hai giới hạn trái và phải tại $x_0$ đều không bằng nhau. Điều này dẫn đến giới hạn không tồn tại, là một lý do khiến hàm không liên tục. Vậy, điều SAI là mệnh đề mà nếu nó đúng thì hàm vẫn có thể không liên tục. Đó là lựa chọn 1. Kết luận Điều SAI là Tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
