Category:
[Cánh diều] Trắc nghiệm Toán học 11 bài 3 Đường thẳng và mặt phẳng song song
Tags:
Bộ đề 1
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SA, J là điểm trên cạnh SC sao cho SC = 3SJ. Mặt phẳng \((\text{IJ}K)\) với K là điểm bất kỳ trên cạnh SB. Tìm mối quan hệ giữa mặt phẳng \((\text{IJ}K)\) và mặt phẳng \((\text{ABCD})\) trong trường hợp \((\text{IJ}K)\) song song với \((\text{ABCD})\).
Để mặt phẳng \((\text{IJ}K)\) song song với mặt phẳng \((\text{ABCD})\), cần có hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng \((\text{IJ}K)\) song song với hai đường thẳng cắt nhau tương ứng trong mặt phẳng \((\text{ABCD})\). Ta có I là trung điểm SA, J là điểm trên SC sao cho SC = 3SJ hay SJ/SC = 1/3. Trong tam giác SAC, nếu IJ song song với AC thì IJ/AC = SI/SA = 1/2. Nhưng ta có SJ/SC = 1/3. Vậy IJ không song song với AC. Xét tam giác SAC, đường thẳng IJ nối trung điểm I của SA và điểm J trên SC. Theo định lý Thales đảo, để IJ song song với AC thì J phải là trung điểm của SC. Nhưng đề bài cho SC = 3SJ, tức là SJ/SC = 1/3, nên J không phải là trung điểm SC. Do đó, IJ không song song với AC. Nếu mặt phẳng \((\text{IJ}K)\) song song với \((\text{ABCD})\) thì đường thẳng IJ phải song song với đường thẳng AC. Tuy nhiên, với giả thiết I là trung điểm SA và SJ/SC = 1/3, IJ không song song với AC. Điều này có nghĩa là mặt phẳng \((\text{IJ}K)\) không thể song song với \((\text{ABCD})\) với các vị trí I, J đã cho, trừ khi K có vị trí đặc biệt làm cho IK hoặc JK song song với BD. Tuy nhiên, câu hỏi đề cập đến trường hợp mặt phẳng song song. Nếu IJ song song với AC, thì mặt phẳng (IJK) sẽ song song với (ABCD). Với giả thiết I là trung điểm SA, J là điểm trên SC với SJ/SC = 1/3, IJ không song song với AC. Do đó, mặt phẳng (IJK) không song song với (ABCD) trừ khi có một cách diễn đạt khác hoặc giả thiết về K. Quay lại định lý về mặt phẳng song song: nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia. Nếu (IJK) song song với (ABCD), thì IJ song song với AC, IK song song với BD, JK song song với CD. Với I là trung điểm SA, để IJ song song AC thì J phải là trung điểm SC. Nhưng SJ/SC = 1/3. Do đó, IJ không song song AC. Điều này dẫn đến kết luận rằng với các vị trí I, J đã cho, mặt phẳng (IJK) không song song với (ABCD). Tuy nhiên, nếu đề bài muốn hỏi điều kiện để (IJK) song song với (ABCD) thì cần phải có IJ song song AC. Kết luận: Mặt phẳng \((\text{IJ}K)\) song song với \((\text{ABCD})\) khi và chỉ khi đường thẳng IJ song song với đường thẳng AC.
