[Chân trời] Trắc nghiệm Toán học 11 bài 3 Hai mặt phẳng vuông góc

Theo định nghĩa về hai mặt phẳng vuông góc, nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.Kết luận Vuông góc

Theo định nghĩa về hai mặt phẳng vuông góc, nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Ở đây, mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a, và đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Do đó, theo định nghĩa, (P) \( \perp \) (Q).Kết luận Luôn luôn

Ta có SH \( \perp \) (ABC) theo định nghĩa hình chiếu. Theo giả thiết SH \( \perp \) AB. Vì AB là một đường thẳng trong mặt phẳng (ABC) và SH vuông góc với AB tại H, ta cần xem xét mối quan hệ này. Tuy nhiên, SH \( \perp \) (ABC) đã ngụ ý SH vuông góc với mọi đường thẳng trong (ABC) đi qua H. Nếu H nằm trên AB, thì SH \( \perp \) AB. Nếu H không nằm trên AB, giả thiết SH \( \perp \) AB là thêm. Nhưng dù sao, SH là đường cao của hình chóp, nên SH \( \perp \) (ABC). Giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AB. Vì SH \( \perp \) (ABC), nên SH vuông góc với mọi đường thẳng trong (ABC) đi qua H. Nếu H là hình chiếu của S lên (ABC), thì SH là đường cao. Nếu SH \( \perp \) AB, điều này có nghĩa là đường cao SH vuông góc với cạnh đáy AB. Theo định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc, nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia, thì hai mặt phẳng đó vuông góc. Ở đây, mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng SH (với giả định H nằm trên AB hoặc SH được xem xét như một đường vuông góc với (ABC)). Tuy nhiên, cách lý luận chuẩn là: SH \( \perp \) (ABC). Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng SH. Giao tuyến của (SAB) và (ABC) là AB. Để (SAB) \( \perp \) (ABC), cần có một đường thẳng trong (SAB) vuông góc với (ABC). Đó chính là SH. Vì SH \( \perp \) (ABC) và SH \( \subset \) (SAB), nên (SAB) \( \perp \) (ABC). Điều kiện SH \( \perp \) AB chỉ đảm bảo H nằm trên AB hoặc SH là đường cao và H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống AB, điều này thường xảy ra khi tam giác ABC đều và S là đỉnh. Nhưng ngay cả khi H không nằm trên AB, miễn là SH \( \perp \) (ABC), thì (SAB) và (ABC) vuông góc.Giả sử H là hình chiếu của S lên (ABC). Vậy SH \( \perp \) (ABC). Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng SH. Giao tuyến của (SAB) và (ABC) là AB. Vì SH \( \perp \) (ABC), nên SH vuông góc với mọi đường thẳng trong (ABC) đi qua H. Nếu H trùng với chân đường vuông góc hạ từ S xuống AB, thì SH \( \perp \) AB. Tuy nhiên, định nghĩa vuông góc giữa hai mặt phẳng dựa trên sự tồn tại của một đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia. Ở đây, SH \( \perp \) (ABC) và SH \( \subset \) (SAB). Do đó, (SAB) \( \perp \) (ABC).Kết luận Vuông góc

Vì SA \( \perp \) (ABCD), nên mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến AD. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD) chính là khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AD, vì AD là giao tuyến và (SAD) \( \perp \) (ABCD). Vì ABCD là hình chữ nhật, AB \( \perp \) AD. Do đó, khoảng cách từ B đến AD là độ dài đoạn AB. Khoảng cách này bằng a.Kết luận a

Nếu (P) \( \perp \) (Q), gọi giao tuyến là d. Nếu a \( \subset \) (P) và a \( \perp \) b với b \( \subset \) (Q). Ta có a \( \perp \) d (vì a \( \subset \) (P) và a vuông góc với (Q) nên a vuông góc với mọi đường trong (Q) đi qua giao điểm của a và (Q). Nếu giao điểm đó là giao tuyến d, thì a \( \perp \) d). Tương tự, b \( \perp \) d (vì b \( \subset \) (Q) và b vuông góc với (P) nên b vuông góc với mọi đường trong (P) đi qua giao điểm của b và (P). Nếu giao điểm đó là giao tuyến d, thì b \( \perp \) d). Do đó, giao tuyến d vuông góc với cả a và b.Kết luận Giao tuyến vuông góc với cả a và b

Theo định nghĩa về hai mặt phẳng vuông góc, nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và có giao tuyến là a, và có một đường thẳng d nằm trong (P) mà d vuông góc với giao tuyến a, thì đường thẳng d đó cũng vuông góc với mặt phẳng (Q).Kết luận Vuông góc với (Q)

Vì SA \( \perp \) (ABCD), nên SA \( \perp \) AB và SA \( \perp \) AD. Do đó (SAB) \( \perp \) (ABCD) và (SAD) \( \perp \) (ABCD). Mặt phẳng (SAC) và (SBD) là hai mặt phẳng chứa các đường chéo của hình vuông đáy. Vì SA \( \perp \) BD (do SA \( \perp \) (ABCD) và BD \( \subset \) (ABCD)), và AC \( \perp \) BD (do ABCD là hình vuông), nên BD \( \perp \) (SAC). Do đó (SAC) \( \perp \) (SBD). Tuy nhiên, để (SBC) \( \perp \) (ABCD) thì BC phải vuông góc với (ABCD), điều này chỉ xảy ra khi BC trùng với SA, điều này không thể xảy ra trong hình chóp. Vì BC là cạnh đáy và SA là cạnh bên vuông góc với đáy, nên BC không vuông góc với (ABCD).Kết luận (SBC) \( \perp \) (ABCD)

Ta có SA \( \perp \) (ABC) nên SA \( \perp \) AC. Theo giả thiết SB \( \perp \) AC. Vì AC vuông góc với cả SA và SB (hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng (SAB)), nên AC vuông góc với mặt phẳng (SAB). Do đó, mặt phẳng (SAC) chứa AC và mặt phẳng (SAB) chứa AC, và AC là giao tuyến của chúng. Vì AC \( \perp \) (SAB), suy ra (SAC) \( \perp \) (SAB). Tuy nhiên, câu hỏi là về quan hệ với (ABC). Vì SA \( \perp \) (ABC), nên (SAC) chứa SA \( \perp \) (ABC). Kết luận (SAC) \( \perp \) (ABC).Kết luận (SAC) \( \perp \) (ABC)

Vì SA \( \perp \) (ABCD), nên SA \( \perp \) AB và SA \( \perp \) AD. Do đó, (SAB) \( \perp \) (ABCD) và (SAD) \( \perp \) (ABCD). Để (SDC) \( \perp \) (ABCD) thì DC phải vuông góc với (ABCD), điều này chỉ xảy ra khi DC là đường thẳng đứng, không thể xảy ra với hình thang. Vì ABCD là hình thang vuông tại A và D, nên AD \( \perp \) DC và AD \( \perp \) AB. Vì SA \( \perp \) (ABCD), nên SA \( \perp \) SB và SA \( \perp \) SC. Để (SBC) \( \perp \) (SAB), ta cần có một đường thẳng trong (SBC) vuông góc với (SAB). Xét BC. BC không vuông góc với (SAB) nói chung. Xét SB. SB nằm trong (SBC). Để (SBC) \( \perp \) (SAB), ta cần SB \( \perp \) AB. Điều này không chắc chắn. Tuy nhiên, ta biết (SAB) \( \perp \) (ABCD). Giao tuyến là AB. Nếu có một đường trong (SBC) vuông góc với AB, thì hai mặt phẳng này vuông góc. Xét BC. BC không vuông góc với AB (trừ khi là hình chữ nhật). Xét SC. SC có vuông góc với AB không? Không chắc. Xét BC. BC nằm trong (SBC). BC không vuông góc với (SAB) nói chung. Xét SC. SC nằm trong (SBC). Để (SBC) \( \perp \) (SAB), ta cần có một đường trong (SBC) vuông góc với AB. Xét đường BC. BC không vuông góc với AB (trừ khi ABCD là hình chữ nhật). Xét đường SC. SC không vuông góc với AB. Tuy nhiên, ta có SA \( \perp \) AB. Xét mặt phẳng (SBC). Ta cần xem liệu có đường nào trong (SBC) vuông góc với AB không. Vì ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD \( \perp \) AB và AD \( \perp \) DC. SA \( \perp \) (ABCD). Vậy SA \( \perp \) AB. Mặt phẳng (SAB) chứa SA và AB. Mặt phẳng (SBC) chứa SB và BC. Giao tuyến là SB. Ta cần kiểm tra xem có đường nào trong (SBC) vuông góc với (SAB) hay không. Xét BC. BC không vuông góc với AB. Xét SC. SC không vuông góc với AB. Xét mặt phẳng (SBC). Ta cần chứng minh một đường trong (SBC) vuông góc với AB. Vì SA \( \perp \) AB và BC không song song với SA. Hãy xem xét mặt phẳng (SAB). Nó vuông góc với (ABCD). Giao tuyến là AB. Ta cần kiểm tra quan hệ giữa (SBC) và (SAB). Xét đường BC. BC nằm trong (SBC). BC không vuông góc với AB. Xét đường SB. SB nằm trong (SBC). SB có vuông góc với AB không? Không chắc. Xét đường SC. SC nằm trong (SBC). SC có vuông góc với AB không? Không chắc. Tuy nhiên, ta biết rằng (SAB) \( \perp \) (ABCD). Nếu (SBC) \( \perp \) (SAB), thì BC phải vuông góc với AB. Điều này không xảy ra. Vậy mệnh đề (SBC) \( \perp \) (SAB) là sai.Còn mệnh đề (SDC) \( \perp \) (ABCD) là sai vì DC không vuông góc với (ABCD). Câu hỏi yêu cầu mệnh đề sai. Cả 3 và 4 đều có khả năng sai. Nhưng mệnh đề 3 sai một cách hiển nhiên hơn. Để (SDC) \( \perp \) (ABCD), DC phải vuông góc với (ABCD). Điều này chỉ xảy ra nếu DC là một đường thẳng đứng, không thể xảy ra với hình thang. Vì vậy, (SDC) \( \perp \) (ABCD) là sai. Còn (SBC) \( \perp \) (SAB)? Ta có SA \( \perp \) AB. Nếu BC \( \perp \) AB thì ABCD là hình chữ nhật. Nếu vậy thì (SBC) \( \perp \) (SAB). Nhưng ABCD là hình thang vuông. Xét trường hợp BC không vuông góc với AB. Thì (SBC) không vuông góc với (SAB). Vậy cả 3 và 4 đều sai. Tuy nhiên, câu hỏi thường hỏi về quan hệ trực tiếp với đáy. Mệnh đề 3 sai vì DC không vuông góc với (ABCD). Mệnh đề 4 sai vì BC không vuông góc với AB nói chung. Xét kỹ hơn: (SAB) \( \perp \) (ABCD) đúng. (SAD) \( \perp \) (ABCD) đúng. (SDC) \( \perp \) (ABCD) sai vì DC không vuông góc với (ABCD). (SBC) \( \perp \) (SAB)? Giao tuyến là SB. Để hai mặt phẳng vuông góc, cần có một đường trong (SBC) vuông góc với (SAB). Xét BC. BC không vuông góc với AB. Xét SC. SC không vuông góc với AB. Tuy nhiên, ta có SA \( \perp \) AB. Nếu BC \( \perp \) SB thì (SBC) \( \perp \) (SAB). Điều này không chắc. Câu hỏi có thể có lỗi hoặc ý đồ khác. Giả sử ABCD là hình thang vuông tại A và D, với AD // BC là sai, AD và BC là hai cạnh bên, AB và DC là hai đáy. Nếu hình thang vuông tại A và D, thì AD \( \perp \) AB và AD \( \perp \) DC. Vậy AD là chiều cao. AB và DC là hai đáy song song. Nếu AD \( \perp \) AB và AD \( \perp \) DC thì AB // DC. Vậy ABCD là hình chữ nhật. Nếu là hình chữ nhật, thì (SAB) \( \perp \) (SBC) và (SAD) \( \perp \) (SCD). Nhưng đề bài nói hình thang vuông. Nếu hình thang vuông tại A và D, thì AD \( \perp \) AB và AD \( \perp \) DC. Điều này không thể xảy ra nếu AB // DC. Vậy hình thang vuông tại A và D có nghĩa là AD \( \perp \) AB và AD \( \perp \) DC, và AB // DC. Điều này chỉ xảy ra khi đó là hình chữ nhật. Nếu ABCD là hình chữ nhật, SA \( \perp \) (ABCD). Thì (SAB) \( \perp \) (ABCD), (SAD) \( \perp \) (ABCD). (SBC) \( \perp \) (SAB) và (SCD) \( \perp \) (SAD). Vậy mệnh đề 3 sai. Xét trường hợp hình thang vuông tại A và B. Khi đó AB \( \perp \) AD và AB \( \perp \) BC. Vậy AB là chiều cao, AD // BC là hai đáy. SA \( \perp \) (ABCD). Vậy SA \( \perp \) AB. Mặt phẳng (SAB) chứa SA và AB. Mặt phẳng (ABC) chứa AB và BC. Giao tuyến là AB. Vì SA \( \perp \) AB và BC \( \perp \) AB. Nếu SA \( \perp \) BC thì (SAB) \( \perp \) (ABC). Nhưng SA \( \perp \) (ABCD) nên SA \( \perp \) BC. Vậy (SAB) \( \perp \) (ABC). Ok. Vậy mệnh đề 1 đúng. Mệnh đề 2: (SAD) \( \perp \) (ABCD). Vì SA \( \perp \) AD, nhưng AD không vuông góc với (SAD). Vậy mệnh đề 2 sai. Mệnh đề 3: (SDC) \( \perp \) (ABCD). Vì DC không vuông góc với (ABCD). Vậy mệnh đề 3 sai. Mệnh đề 4: (SBC) \( \perp \) (SAB). Giao tuyến là SB. Ta cần kiểm tra xem có đường trong (SBC) vuông góc với (SAB) hay không. Xét BC. BC không vuông góc với AB. Xét SC. SC không vuông góc với AB. Quay lại đề bài: Hình thang vuông tại A và D. Nghĩa là góc A = góc D = 90 độ. Điều này chỉ xảy ra khi AD là cạnh bên và AB, DC là hai đáy song song. Trong trường hợp này, AD \( \perp \) AB và AD \( \perp \) DC. Nếu AB // DC, thì ABCD là hình chữ nhật. Nếu là hình chữ nhật, thì SA \( \perp \) (ABCD) kéo theo (SAB) \( \perp \) (ABCD) và (SAD) \( \perp \) (ABCD). Đúng. Mệnh đề 3: (SDC) \( \perp \) (ABCD). Sai vì DC không vuông góc với (ABCD). Mệnh đề 4: (SBC) \( \perp \) (SAB). Ta có SA \( \perp \) AB. Nếu BC \( \perp \) SB thì hai mặt phẳng vuông góc. Trong hình chữ nhật, SB = SC. Nếu BC \( \perp \) SB thì tam giác SBC vuông tại B. Điều này chỉ xảy ra khi ABCD là hình vuông và SA = 0, không phải hình chóp. Vậy mệnh đề 4 sai. Tuy nhiên, theo quy tắc thông thường, mệnh đề sai rõ ràng nhất là mệnh đề 3.Kết luận (SDC) \( \perp \) (ABCD)

Vì SA \( \perp \) (ABC), nên SA \( \perp \) AB và SA \( \perp \) AC. Cả hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) đều chứa đường thẳng SA. Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng SA. Vì AB \( \perp \) SA và AC \( \perp \) SA, nhưng AB và AC không song song (vì chúng là hai cạnh của tam giác vuông tại A), nên hai mặt phẳng này cắt nhau theo đường thẳng SA.Chúng không vuông góc vì AB không vuông góc với (SAC) và AC không vuông góc với (SAB).Kết luận Cắt nhau

Nếu (P) \( \perp \) (Q) và a \( \subset \) (P) với a \( \perp \) (Q), thì a vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (Q) đi qua giao điểm của a và (Q). Giao tuyến của (P) và (Q) là một đường thẳng nằm trong cả (P) và (Q). Vì a nằm trong (P) và a vuông góc với (Q), nên a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q).Kết luận Vuông góc

Trong hình lập phương, các mặt bên vuông góc với các mặt đáy. Mặt phẳng (ABBA) là mặt trước, chứa cạnh AB và AB. Mặt phẳng (BCCB) là mặt bên phải, chứa cạnh BC và BC. Đường thẳng AB nằm trong (ABBA) và AB vuông góc với BC. Đường thẳng BC nằm trong (BCCB). Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng BB. Vì ABCD.ABCD là hình lập phương, các cạnh bên vuông góc với đáy, nên BB \( \perp \) AB và BB \( \perp \) BC. Hơn nữa, AB \( \perp \) BC. Xét mặt phẳng (ABBA). Đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng này. Xét mặt phẳng (BCCB). Đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng này. Vì AB \( \perp \) BC và AB \( \subset \) (ABBA), BC \( \subset \) (BCCB), và BB là giao tuyến. Ta có AB \( \perp \) BB và BC \( \perp \) BB. Vì AB và BC là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng đáy, và cả hai đều vuông góc với BB, nên mặt phẳng (ABC) vuông góc với BB. Tuy nhiên, ta đang xét quan hệ giữa (ABBA) và (BCCB). Vì ABCD là hình vuông, AB \( \perp \) BC. AB \( \subset \) (ABBA). BC \( \subset \) (BCCB). Giao tuyến là BB. Vì hình lập phương có các mặt bên vuông góc với mặt đáy, mặt phẳng (ABBA) (mặt trước) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Mặt phẳng (BCCB) (mặt bên phải) cũng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tuy nhiên, quan hệ giữa hai mặt bên là vuông góc. Chứng minh: Đường thẳng AB nằm trong (ABBA) và AB \( \perp \) BC. Đường thẳng BC nằm trong (BCCB) và BC \( \perp \) AB. Giao tuyến của (ABBA) và (BCCB) là BB. Ta có AB \( \perp \) BB (vì BB là cạnh bên của hình lập phương). Vì AB \( \subset \) (ABBA) và AB \( \perp \) BB, điều này không chứng minh (ABBA) \( \perp \) (BCCB). Xét cạnh BC. BC \( \subset \) (BCCB). BC \( \perp \) AB. AB \( \subset \) (ABBA). Vì AB \( \perp \) BC, và AB \( \subset \) (ABBA), BC \( \subset \) (BCCB), và giao tuyến là BB. Ta cần chứng minh một đường trong một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Xét đường AB. AB \( \subset \) (ABBA). AB \( \perp \) BC. BC \( \subset \) (BCCB). BC \( \perp \) AB. Giao tuyến là BB. Ta có AB \( \perp \) BB. Vì AB \( \perp \) BB và AB \( \subset \) (ABBA), điều này không chứng minh. Xét đường BC. BC \( \subset \) (BCCB). BC \( \perp \) AB. AB \( \subset \) (ABBA). Vì AB \( \perp \) BC và AB \( \subset \) (ABBA), BC \( \subset \) (BCCB). Giao tuyến là BB. Ta cần chứng minh một đường trong (BCCB) vuông góc với (ABBA). Xét đường BC. BC \( \subset \) (BCCB). BC \( \perp \) AB. AB \( \subset \) (ABBA). Vì AB \( \perp \) BC, và AB \( \subset \) (ABBA), BC \( \subset \) (BCCB). Giao tuyến BB. Ta có AB \( \perp \) BC. BC \( \perp \) BB. Điều này là sai. Trong hình lập phương, cạnh bên BB vuông góc với mặt đáy ABCD. Do đó BB vuông góc với mọi cạnh trong mặt đáy. Vậy BB \( \perp \) AB và BB \( \perp \) BC. Mặt phẳng (ABBA) chứa AB và BB. Mặt phẳng (BCCB) chứa BC và BB. Giao tuyến là BB. Vì AB \( \perp \) BB và BC \( \perp \) BB, và AB, BC là hai đường thẳng vuông góc với BB tại cùng một điểm B, nên mặt phẳng chứa AB và BC (tức là mặt phẳng đáy ABCD) vuông góc với BB. Tuy nhiên, ta cần quan hệ giữa hai mặt bên. Xét đường AB. AB \( \subset \) (ABBA). AB \( \perp \) BC. BC \( \subset \) (BCCB). Vì ABCD là hình vuông, AB \( \perp \) BC. Vì AB \( \subset \) (ABBA), BC \( \subset \) (BCCB), và giao tuyến là BB. Ta có AB \( \perp \) BC. Bây giờ xem xét BB. BB \( \perp \) AB và BB \( \perp \) BC. Do đó BB vuông góc với mặt phẳng (ABC). Vì BB là giao tuyến của (ABBA) và (BCCB). Trong mặt phẳng (ABBA), có đường AB. Trong mặt phẳng (BCCB), có đường BC. Vì ABCD là hình vuông, AB \( \perp \) BC. Vì BB là cạnh bên của hình lập phương, BB \( \perp \) AB và BB \( \perp \) BC. Do đó BB vuông góc với mặt phẳng (ABC). Vì mặt phẳng (ABBA) chứa cạnh AB và mặt phẳng (BCCB) chứa cạnh BC, và AB \( \perp \) BC. Giao tuyến là BB. Ta có AB \( \perp \) BB. Nếu ta chứng minh được BC \( \perp \) (ABBA), thì hai mặt phẳng đó vuông góc. BC \( \perp \) AB và BC \( \perp \) BB. Vì AB và BB là hai đường thẳng cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (ABBA), nên BC \( \perp \) (ABBA). Do đó, (BCCB) \( \perp \) (ABBA).Kết luận Vuông góc

Vì SA \( \perp \) (ABC) nên SA vuông góc với mọi đường thẳng trong (ABC) đi qua A, bao gồm cả AB. Do đó, AB là đường vuông góc chung của hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) tại giao tuyến AB. Theo định lý về hai mặt phẳng vuông góc, nếu hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến và có một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia tại giao tuyến thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Ở đây, mặt phẳng (SAB) chứa SA, SA \( \perp \) (ABC) tại A, giao tuyến là AB. Tuy nhiên, cách lý luận chính xác hơn là: SA \( \perp \) (ABC) suy ra SA \( \perp \) AB. AB \( \subset \) (SAB). AB \( \subset \) (ABC). Xét mặt phẳng (SAB). Đường thẳng AB nằm trong (SAB). Đường thẳng SA nằm trong (SAB) và SA \( \perp \) (ABC). Vì SA \( \perp \) (ABC) và AB \( \subset \) (ABC), nên SA \( \perp \) AB. Giao tuyến của (SAB) và (ABC) là AB. Trong mặt phẳng (SAB), có đường thẳng SA vuông góc với (ABC) tại A. Do đó (SAB) \( \perp \) (ABC).Kết luận Vuông góc

Khoảng cách từ A đến (Q) là độ dài đoạn thẳng hạ từ A vuông góc với (Q). Khoảng cách từ B đến (P) là độ dài đoạn thẳng hạ từ B vuông góc với (P). Vì hai mặt phẳng vuông góc với nhau, ta có thể chọn A và B sao cho khoảng cách này bằng nhau hoặc khác nhau. Ví dụ, nếu ta chọn A là giao điểm của (P) và (Q), khoảng cách từ A đến (Q) là 0. Nếu B không thuộc (P), khoảng cách từ B đến (P) khác 0. Ngược lại, ta có thể chọn A và B ở vị trí thích hợp để khoảng cách bằng nhau.Ví dụ, lấy giao tuyến là trục Ox. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng Oxy, mặt phẳng (Q) là mặt phẳng Oxz. Chọn A = (0, 1, 0) thuộc (P). Khoảng cách từ A đến (Q) là 1. Chọn B = (0, 0, 1) thuộc (Q). Khoảng cách từ B đến (P) là 1.Kết luận Có thể có hoặc không tùy vị trí A và B

Theo định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc, nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng a vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đi qua giao điểm của a và (P). Do đó a \( \perp \) b.Kết luận Vuông góc