Category:
[Chân trời] Trắc nghiệm Toán học 11 bài 4 Khoảng cách trong không gian
Tags:
Bộ đề 1
11. Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P) không chứa A, B. Nếu A và B nằm về hai phía của mặt phẳng (P) thì khoảng cách giữa A và B là:
Khi hai điểm A và B nằm về hai phía của mặt phẳng (P), đoạn thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I. Khoảng cách từ A đến (P) là độ dài đoạn thẳng từ A vuông góc với (P), gọi là AH. Khoảng cách từ B đến (P) là độ dài đoạn thẳng từ B vuông góc với (P), gọi là BK. Do A và B nằm về hai phía, đoạn AB cắt (P). Gọi I là giao điểm của AB và (P). Khi đó, tam giác ABI đồng dạng với tam giác KBI (nếu AH và BK cùng phía). Nếu A và B khác phía, ta có thể xét tam giác vuông tạo bởi đường vuông góc và mặt phẳng. Gọi d(A, (P)) là khoảng cách từ A đến (P), d(B, (P)) là khoảng cách từ B đến (P). Nếu A và B nằm về hai phía của (P), thì AB = d(A, (P)) + d(B, (P)). Điều này đúng khi A và B nằm trên đường thẳng vuông góc với (P). Tuy nhiên, xét tổng khoảng cách từ A và B đến (P) khi AB cắt (P) tại I. Gọi H là hình chiếu của A lên (P), K là hình chiếu của B lên (P). Thì AH là khoảng cách từ A đến (P), BK là khoảng cách từ B đến (P). Nếu A và B nằm về hai phía của (P), thì đoạn AB cắt (P). Gọi I là giao điểm của AB và (P). Ta có thể sử dụng định lý Thales hoặc tính chất của tam giác đồng dạng. Xét mặt phẳng chứa A, B và đường vuông góc với (P) tại H và K. Nếu A và B khác phía, thì đoạn AB cắt (P). Gọi I là giao điểm của AB và (P). Khi đó, ta có thể kẻ đường thẳng qua I song song với AH và BK. Kết luận: Nếu A và B nằm về hai phía của (P), thì khoảng cách từ A đến (P) cộng với khoảng cách từ B đến (P) bằng độ dài đoạn AB nếu đường thẳng AB vuông góc với (P). Tổng quát hơn, gọi H, K là hình chiếu của A, B lên (P). Nếu A, B khác phía, thì AB = AH + BK chỉ khi A, B, H, K thẳng hàng và H, K nằm trên cùng một đường thẳng. Tuy nhiên, xét tam giác vuông tạo bởi đường thẳng AB và các đường vuông góc với (P). Nếu A và B nằm về hai phía của mặt phẳng (P), thì đoạn thẳng AB cắt mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của A trên (P) và K là hình chiếu của B trên (P). Khi đó AH là khoảng cách từ A đến (P) và BK là khoảng cách từ B đến (P). Nếu A và B nằm về hai phía của (P), thì AB = AH + BK là sai. Đúng là nếu A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P), thì đoạn thẳng AB sẽ cắt mặt phẳng (P) tại một điểm nào đó. Gọi H là hình chiếu của A lên (P) và K là hình chiếu của B lên (P). Khi đó AH là khoảng cách từ A đến (P) và BK là khoảng cách từ B đến (P). Nếu A và B nằm về hai phía của mặt phẳng (P), thì điểm cắt I của đoạn thẳng AB và mặt phẳng (P) nằm giữa A và B. Ta có thể sử dụng tính chất tỉ lệ thức. Gọi O là một điểm trên (P). d(A, (P)) + d(B, (P)) là tổng khoảng cách. Kết luận: Tổng khoảng cách từ A đến (P) và khoảng cách từ B đến (P) là độ dài đoạn thẳng AB khi A và B nằm về hai phía của (P) và đường thẳng AB vuông góc với (P). Trong trường hợp tổng quát, xét mặt phẳng chứa A, B và đường vuông góc với (P). Kết luận: Tổng khoảng cách từ A đến (P) và khoảng cách từ B đến (P)
