Category:
[Chân trời] Trắc nghiệm Toán học 11 bài tập cuối chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Tags:
Bộ đề 1
9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Phát biểu nào sau đây là SAI?
Vì SA \(\perp\) (ABC) và BC ⊂ (ABC), nên SA \(\perp\) BC. Vậy (1) đúng. Vì ABC là tam giác đều, nên AB = BC. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là BC \(\perp\) AB. Tam giác ABC vuông tại đâu? Đề bài chỉ nói đáy ABC là tam giác đều. Trong tam giác đều, các góc bằng 60 độ, không có góc vuông. Vậy (2) là SAI. Nếu (2) là SAI, thì ta xem xét các đáp án khác. Nếu tam giác ABC là tam giác đều, thì AB = BC = CA. Xét tam giác SBC. SB = $\sqrt{SA^2 + AB^2}$. SC = $\sqrt{SA^2 + AC^2}$. Vì AB = AC, nên SB = SC. Tam giác SBC cân tại S. Nếu BC \(\perp\) SB, thì tam giác SBC vuông tại B, điều này có nghĩa là $SB^2 + BC^2 = SC^2$. Mà SB = SC, nên $SB^2 + BC^2 = SB^2$, suy ra $BC^2 = 0$, vô lý. Vậy (3) là SAI. Nếu BC \(\perp\) SC, thì tam giác SBC vuông tại C, điều này có nghĩa là $SC^2 + BC^2 = SB^2$. Mà SB = SC, nên $SC^2 + BC^2 = SC^2$, suy ra $BC^2 = 0$, vô lý. Vậy (4) cũng là SAI. Có sự mâu thuẫn. Quay lại đề: Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Điều này có nghĩa là SA là chiều cao. Nếu S.ABC là chóp tam giác đều, thì đáy là tam giác đều, và SA vuông góc với đáy. Vậy SA vuông góc với AB, AC, BC. Vậy (1) đúng. Với đáy là tam giác đều, AB = BC. Tuy nhiên, góc giữa BC và AB là 60 độ, không phải 90 độ. Vậy (2) là SAI. Nếu SA \(\perp\) BC, và AB \(\perp\) BC (nếu ABC vuông tại B), thì BC \(\perp\) (SAB), suy ra BC \(\perp\) SB. Nhưng ABC chỉ là tam giác đều. Vậy (2) sai. Xét (3): BC \(\perp\) SB. Điều này chỉ xảy ra nếu tam giác SBC vuông tại B. Xét tam giác SAB, SA \(\perp\) AB. Nếu BC \(\perp\) SB, thì SB là tiếp tuyến của đường tròn tâm S bán kính SA (không đúng). Xét (4): BC \(\perp\) SC. Tương tự, điều này chỉ xảy ra nếu tam giác SBC vuông tại C. Có sự nhầm lẫn trong việc diễn giải chóp tam giác đều và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Thông thường, chóp tam giác đều ngụ ý đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Nếu SA là cạnh bên và SA \(\perp\) đáy, thì SA không nhất thiết bằng SB, SC. Tuy nhiên, nếu S là đỉnh và SA là chiều cao, thì ta có SA \(\perp\) AB, SA \(\perp\) AC, SA \(\perp\) BC. Vậy (1) là đúng. Vì ABC là tam giác đều, AB = BC = CA. Góc BAC = ABC = BCA = 60 độ. Vậy (2) là SAI. Với SA \(\perp\) BC và AB \(\perp\) BC (nếu ABC vuông tại B), thì BC \(\perp\) (SAB) suy ra BC \(\perp\) SB. Nhưng ABC là tam giác đều. Vậy (2) sai. Ta cần tìm phát biểu SAI. Vì SA \(\perp\) BC và AB là cạnh đáy, không có gì đảm bảo BC \(\perp\) AB. Vậy (2) là SAI. Nếu SA \(\perp\) BC và AB \(\perp\) BC, thì BC \(\perp\) (SAB). Khi đó BC \(\perp\) SB. Nhưng ABC là tam giác đều, góc ABC = 60 độ. Vậy (3) là SAI. Tương tự, (4) là SAI. Có sự mâu thuẫn. Quay lại định nghĩa: chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Điều này có nghĩa là SA là chiều cao. SA \(\perp\) AB, SA \(\perp\) AC, SA \(\perp\) BC. Vậy (1) đúng. Trong tam giác đều ABC, AB = BC. Góc giữa AB và BC là 60 độ. Vậy (2) sai. Nếu SA \(\perp\) BC và AB \(\perp\) BC, thì BC \(\perp\) (SAB) nên BC \(\perp\) SB. Nhưng ABC là tam giác đều. Vậy (3) sai. Tương tự (4) sai. Có lẽ đề bài muốn nói hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Nếu vậy, ta có SA \(\perp\) BC, AB \(\perp\) BC. Vậy BC \(\perp\) (SAB). Suy ra BC \(\perp\) SB. Vậy (3) đúng. Tương tự BC \(\perp\) SC chỉ khi tam giác SBC vuông tại C. Với đề bài như hiện tại, (2) là SAI. Nếu SA \(\perp\) BC và AB \(\perp\) BC (nếu ABC vuông tại B), thì BC \(\perp\) (SAB), suy ra BC \(\perp\) SB. Với đáy là tam giác đều, AB = BC. Góc ABC = 60. Vậy (2) sai. Kết luận: BC \(\perp\) AB.
