Trắc nghiệm Cánh diều Toán học 10 Bài tập cuối chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác, véc tơ

1. Cho tam giác ABC với $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$. Công thức nào sau đây là đúng cho định lý sin?

A. $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

B. $\frac{a}{\sin B} = \frac{b}{\sin C} = \frac{c}{\sin A}$

C. $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

D. $a \sin A = b \sin B = c \sin C$

2. Hai véc tơ $\vec{a} = (m; 2)$ và $\vec{b} = (3; m-1)$ vuông góc với nhau khi giá trị của m là bao nhiêu?

A. $m = 3$

B. $m = -2$

C. $m = 6$

D. $m = -3$

3. Tích vô hướng của hai véc tơ $\vec{a} = (1; 2)$ và $\vec{b} = (3; -1)$ là:

A. $1$

B. $5$

C. $7$

D. $0$

4. Cho hai véc tơ $\vec{u} = (2; -3)$ và $\vec{v} = (-1; 4)$. Tọa độ của véc tơ $\vec{u} + \vec{v}$ là:

A. $(1; 1)$

B. $(3; -7)$

C. $(-3; 1)$

D. $(1; -7)$

5. Cho véc tơ $\vec{a} = (1; -2)$. Véc tơ $\vec{b}$ nào sau đây cùng phương với $\vec{a}$?

A. $\vec{b} = (-2; 4)$

B. $\vec{b} = (2; 4)$

C. $\vec{b} = (-1; -2)$

D. $\vec{b} = (1; 2)$

6. Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của cạnh BC. Véc tơ nào sau đây biểu diễn cho $\vec{AM}$?

A. $\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$

B. $\frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AC})$

C. $\vec{AB} + \vec{AC}$

D. $\vec{AB} - \vec{AC}$

7. Cho tam giác ABC. Biểu thức nào sau đây là đúng cho tích vô hướng của hai véc tơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$?

A. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cos A$

B. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB + AC$

C. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC$

D. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \sin A$

8. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c. Hệ thức nào sau đây là đúng khi nói về định lý cosin trong tam giác?

A. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

B. $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A$

C. $a^2 = b^2 + c^2 - bc \cos A$

D. $a^2 = b^2 - c^2 - 2bc \cos A$

9. Cho tam giác ABC có $a=7$, $b=5$, $c=8$. Tính độ dài trung tuyến $m_a$ kẻ từ đỉnh A.

A. $m_a = \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(5^2)+2(8^2)-7^2}{4}} = \sqrt{\frac{50+128-49}{4}} = \sqrt{\frac{129}{4}} = \frac{\sqrt{129}}{2}$

B. $m_a = \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} = \sqrt{\frac{7^2+5^2+8^2}{3}} = \sqrt{\frac{49+25+64}{3}} = \sqrt{\frac{138}{3}} = \sqrt{46}$

C. $m_a = \frac{a+b+c}{3} = \frac{7+5+8}{3} = \frac{20}{3}$

D. $m_a = \sqrt{b^2+c^2-2bc \cos A}$

10. Độ dài của véc tơ $\vec{a} = (3; -4)$ được tính như thế nào?

A. $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2}$

B. $|\vec{a}| = 3 + (-4)$

C. $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 - (-4)^2}$

D. $|\vec{a}| = 3^2 + (-4)^2$

11. Cho tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây là đúng về công thức tính diện tích tam giác khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa?

A. $S = \frac{1}{2}ab \sin C$

B. $S = ab \sin C$

C. $S = \frac{1}{2}ab \cos C$

D. $S = \frac{1}{2}ac \sin B$

12. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây là đúng về phép cộng véc tơ?

A. $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

B. $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

C. $\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{0}$

D. $\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AC}$

13. Cho hai véc tơ $\vec{u} = (-2; 0)$ và $\vec{v} = (0; 3)$. Véc tơ $\vec{u} - \vec{v}$ có tọa độ là:

A. $(-2; -3)$

B. $(2; 3)$

C. $(-2; 3)$

D. $(2; -3)$

14. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C và các cạnh đối diện tương ứng là a, b, c. Hệ thức nào sau đây biểu thị đúng công thức Heron để tính diện tích tam giác?

A. $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $p = \frac{a+b+c}{2}$

B. $S = p(p-a)(p-b)(p-c)$

C. $S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}$

D. $S = p(p-a)(p-b)(p-c)$ với $p = \frac{a+b+c}{2}$

15. Hai véc tơ $\vec{a} = (2; 6)$ và $\vec{b} = (-1; -3)$ có mối quan hệ như thế nào?

A. Cùng phương

B. Vuông góc

C. Bằng nhau

D. Không cùng phương, không vuông góc